БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (НЕ)

Несо'бственные интегра'лы,обобщение классического понятия интеграла на случай неограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежутке интегрирования (см. Интеграл ). Определённый интеграл как предел интегральных сумм Римана может существовать (иметь определённое конечное значение) лишь для ограниченных функций, заданных на конечном интервале. Поэтому, если интервал интегрирования или подынтегральная функция не ограничены, для определения интеграла требуется ещё один предельный переход: получающиеся при этом интегралы называются несобственными интегралами.

Если функция f ( x ) интегрируема на любом конечном отрезке [ a , N ] и если существует

то его называют Н. п. функции f (x) на интервале [ а , ¥] и обозначают

В этом случае говорят, что Н. и. сходится. Когда этот предел, а значит и Н. и., не существует, то иногда говорят, что Н. и. расходится. Например,

сходится при g > 1 и расходится при g £ 1. Аналогично определяют Н. и. на интервалах

[—¥, b ] и [—¥, ¥].

Если функция f ( x ) , заданная на отрезке [ a , b ], не ограничена в окрестности точки a , но интегрируема на любом отрезке [ а + e, b ], 0 < e < b - a и если существует

то его называют Н. и. функции f (x) на [ а , b ] и записывают обычным образом:

Аналогично поступают, если f ( x ) не ограничена в окрестности точки b.

Если существует Н. и.

или

то говорят, что Н. и.

или

абсолютно сходится: если же последние интегралы сходятся (но первые расходятся), то Н. и.

или

называются условно сходящимися.

Задачи, приводящие к Н. и., рассматривались в геометрической форме Э. Торричелли и П. Ферма в 1644. Точные определения Н. и. даны О. Коши в 1823. Различие условно и абсолютно сходящихся Н. и. установлено Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле (1854). Ряд работ математиков 19 в. посвящен вычислению Н. и. в случаях, когда соответствующая первообразная не выражается через элементарные функции. Основными приемами вычисления Н. и. являются дифференцирование и интегрирование по параметру, разложение в ряды, применение теории вычетов. Значения многих Н. и. приводятся в различных таблицах.

Н. и. имеют важное значение во многих областях математического анализа и его приложений. В теории специальных функций (цилиндрических функций, ортогональных многочленов и др.) одним из основных способов изучения является изображение функций в виде Н. и., зависящих от параметра, например

(см. Гамма-функция ) . К Н. и. относится и Фурье интеграл, а также интегралы, встречающиеся при др. интегральных преобразованиях. Решения краевых задач математической физики записываются кратными Н. и. с неограниченной подинтегральной функцией. В теории вероятностей важное значение имеет Н. и.

в теории диффракции света — Н. и.

В ряде случаев расходящимся Н. и. можно приписать определённое значение (см. Суммирование ) . В частности, если интеграл

расходится, но существует

то А называется главным значением Н. и. и обозначают

Так,

Аналогично вводится главное значение Н. и. от неограниченных функций. В работах Н. И. Мусхелишвили и его учеников построена теория интегральных уравнений, содержащих Н. и., понимаемые в смысле главного значения.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 20 изд., т. 2, М. — Л., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд. т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970.

Несо'бственные элеме'нтыв геометрии, элементы (точки, прямые, плоскости), которыми пополняется евклидова плоскость (или пространство) при изучении вопросов, относящихся к проективной геометрии. См. Бесконечно удалённые элементы.

Несоверше'нной конкуре'нции тео'рия,мелкобуржуазная теория рынка, признающая господство на нём монополий и их всесилие в формировании цени в эксплуатации мелких собственников. Исследует возникающие в связи с процессом монополизации новые формы цени изменения в прибыльности с позиций буржуазного реформизма и левого кейнсианства. В отличие от монополистической конкуренции теории, Н. к. т. не рассматривает конкуренцию внутри монополистического сектора, а исследует ценообразование в местах столкновения возникающих монополий торгово-промышленного типа с немонополизированными фирмами, т. е. процессы образования монопольной прибыли. Н. к. т. возникла в условиях кризиса 1929—33 и отразилась в работах Дж. Робинсон.

Согласно Н. к. т., максимализация текущей прибыли за счёт рыночных контрагентов является непосредственным мотивом и основной характеристикой деятельности монополий, а норма прибыли монополии превышает среднюю и исключена из процессов выравнивания прибылей. Было признано, что создание монополий приводило к нарушениям действия стихийных регуляторов экономики («экономическое несовершенство») и требует государственного вмешательства. Этот вывод совпал с основным положением теории Дж. М. Кейнса о необходимости государственного регулирования экономики.