БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ОП)

Опера'тор, математическое понятие, в самом общем смысле означающее соответствие между элементами двух множеств Х и Y , относящее каждому элементу х из Х некоторый элемент у из Y . Эквивалентный смысл имеют термины: операция, отображение , преобразование , функция . Элемент у называется образом х , х — прообразом у . В тех случаях, когда Х и Y — числовые множества, пользуются обычно термином «функция». О., отображающий бесконечномерное пространство в множество действительных или комплексных чисел, называется функционалом . Наиболее важным классом О. являются линейные операторы в линейных нормированных пространствах. Во многих вопросах физики и математического анализа важную роль играют дифференциальные и интегральные О. Изучением различных свойств О., действий над ними и применением их к решению различных математических задач занимается операторов теория .

Опера'торов тео'рия, часть функционального анализа , посвященная изучению свойств операторов и применению их к решению различных задач. Понятие оператора — одно из самых общих математических понятий.

Примеры:

1) Отнеся каждому вектору (x 1, x 2, x 3) вектор (x’ 1, x’’ 2, x’ 3) так, что x’ i = a i 1x 1+ a i 2x 2 + a i 3x 3( i = 1, 2, 3; a i 1, a i 2, a i 3— фиксированные числа), получим некоторый оператор.

2) Операция (оператор) дифференцирования D [ f ( t )] = f’ ( t ) относит каждой дифференцируемой функции f ( t ) её производную f’ ( t ).

3) Операция (оператор) определённого интегрирования I = относит каждой интегрируемой функции действительное число.

4) Отнеся каждой функции f ( t ) её произведение j( t ) f ( t ) на фиксированную функцию j( t ), снова получаем оператор.

Общая О. т. возникла в результате развития теории интегральных уравнений, решения задач на нахождение собственных функций и собственных значений для дифференциальных операторов (см., например, Штурма — Лиувилля задача ) и др. разделов классического анализа. О. т. установила тесные связи между этими разделами математики и сыграла важную роль в их дальнейшем развитии. Ещё до возникновения общего понятия оператора операторные методы широко применялись в решении различных типов дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными (см. Операционное исчисление ). О. т. представляет собой основной математический аппарат квантовой механики (см. Операторы в квантовой теории).

Операторы в линейных пространствах. Чаще всего встречаются операторы, действующие в линейных нормированных пространствах (см. Линейное пространство ), в частности в функциональных пространствах, т. е. отображения у = А ( х ) линейного пространства R или его части в некоторое линейное пространство R' (возможно, совпадающее с R ). Этот класс операторов охватывает такие важнейшие понятия, как числовые функции , линейные преобразования евклидова пространства, дифференциальные и интегральные операторы (см. ниже) и т.д. Наиболее изученными и важными для приложений являются линейные операторы. Оператор называется линейным, если A (a x+ b y ) = a А ( х ) + b А ( у ) для любых элементов х , у пространства R и любых чисел a, b. Если пространства R и R' нормированы, а отношение нормы А ( х ) к норме х ограничено, то линейный оператор A называется ограниченным, а верхнюю грань отношения его нормой. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности, т. е. тому, что А ( Х п ) ® А ( х ), когда Х п ® х . Оператор дифференцирования (пример 2) представляет собой один из важнейших примеров неограниченного (а следовательно, и не непрерывного) линейного оператора. См. также Линейный оператор .

Приведённые выше примеры 1—4 представляют собой примеры линейных операторов. Дальнейшие примеры линейных операторов:

5) Пусть k ( s , t ) — непрерывная функция двух переменных, заданная в квадрате a £ s £ b , а £ t £ b . Формула

определяет линейный интегральный оператор, называется оператором Фредгольма.

6) Каждой абсолютно интегрируемой на всей прямой функции f ( t ) поставим в соответствие функцию

называется Фурье преобразованием исходной функции. Это соответствие также представляет собой линейный оператор.

7) Левую часть линейного дифференциального уравнения

можно рассматривать как результат применения некоторого оператора, ставящего в соответствие функции x ( t ) функцию j( t ). Такой оператор носит название линейного дифференциального оператора. Простейшим частным случаем линейного дифференциального оператора является оператор дифференцирования.

Примеры нелинейных операторов:

8) Пусть A [ f ( t )] = f 2( t ); определённый т. о. оператор является нелинейным.

9) Пусть

( F — некоторая ограниченная непрерывная функция). Соответствие g ® h , определяемое этой формулой, представляет собой нелинейный интегральный оператор.

Действия над операторами. Пусть дан оператор

у = А ( х ),

причём никакие два разных элемента х и х' не переходят в один и тот же элемент у . Тогда каждому образу у отвечает его единств. прообраз х . Это соответствие называется обратным оператором и обозначают

х = А –1( у ).

Построение обратного оператора эквивалентно решению уравнения у = А ( х ) относительно х (отыскание неизвестного прообраза по данному образу).

Если A 1и А 2— два оператора, отображающих R в R' , то их суммой А = A 1+ A 2называется оператор, определяемый равенством А ( х ) = A 1( x ) + A 2( x ). Если оператор A 1переводит R в R' , а A 2переводит R' в R” , то результат их последовательного применения представляет собой оператор, отображающий R в R” ; его называют произведением A 2 A 1 операторов A 1и A 2. Если, в частности, рассматриваются операторы, переводящие некоторое линейное пространство в себя, то сумма и произведение двух таких операторов всегда определены. Результат последовательного применения п раз одного и того же оператора А есть n - я степень A n этого оператора. Например, n -я степень оператора дифференцирования есть оператор n -kpaтного дифференцирования D n [ f (t)] = f (n)(t). Произведение l А оператора А на число l определяется формулой