БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ПО)

Более точная характеристика пространственной формы поверхности может быть получена с помощью исследования геометрических свойств линий на поверхности. Пусть М — некоторая точка поверхности S и n — единичный вектор нормали к поверхности в М. Линия ( L ) пересечения S с плоскостью, проходящей через n в направлении называется нормальным сечением в этом направлении, а ее кривизна — нормальной кривизной 1/ R, которая вычисляется по формуле:

.

Нормальная кривизна поверхности в данной точке М в данном направлении может рассматриваться как мера искривлённости поверхности в М в направлении . Экстремальные значения нормальной кривизны в данной точке называется главными кривизнами, а соответствующие направления на поверхности — главными направлениями. Кривизна произвольного нормального сечения в данной точке связана простым соотношением с главными кривизнами (см. Эйлера формулы ) . Если главная кривизны в точке М различны, то в этой точке существуют два различных главных направления. Линии, направления которых в каждой точке являются главными, называются линиями кривизны. Направления, в которых нормальная кривизна равна нулю, называются асимптотическими, а линии, имеющие в каждой точке асимптотическое направление, — асимптотическими линиями. Поверхность, состоящая из эллиптических точек (например, сфера), не имеет асимптотических линий. Поверхность, состоящая из гиперболических точек, имеет два семейства асимптотических линий (например, две системы прямолинейных образующих однополостного гиперболоида). Поверхность, состоящая из параболических точек, имеет одну систему асимптотических линий — систему прямолинейных образующих. Дальнейшее изучение свойств произвольных линий на поверхности (в первую очередь кривизн линий) тесно связано с кривизнами нормальных сечений. Кривизна k в данной точке М произвольной линии Г может быть вычислена по формуле:

,

где k n— кривизна нормального сечения L в точке М в направлении касательной к Г, а q — угол между главными нормалями к Г и L в этой точке (см. Мёнье теорема ) .

Поверхности, между точками которых можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что длины соответствующих линий равны, называются изометричными. Изометричные поверхности имеют одинаковую внутреннюю геометрию, но их пространственное строение может быть различным и главные кривизны в соответствующих точках у них могут быть также различными (например, окрестность точки на плоскости изометрична некоторой окрестности точки на цилиндре, но имеет иную пространственную структуру). Однако произведение К главных кривизн 1/ R 1 и 1/ R 2 в точке М не меняется при изометричных преобразованиях поверхности (теорема Гаусса, 1826) и может служить внутренней мерой искривлённости поверхности в данной точке. Величина К называется полной (или гауссовой) кривизной поверхности в точке М и выражается соотношением:

, (2)

которое называется формулой Гаусса (полная кривизна в соответствии с теоремой Гаусса может быть выражена только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные). Приведённая выше классификация точек регулярной поверхности может быть сопоставлена со значениями полной кривизны: в эллиптической точке кривизна положительна, в гиперболической — отрицательна и в параболической — равна нулю.

Во многих вопросах П. т. рассматривается другая характеристика искривлённости поверхности — т. н. средняя кривизна, равная полусумме главных кривизн поверхности. Так, например, одним из объектов исследований П. т. являются минимальные поверхности, средняя кривизна которых в каждой точке равна нулю.

Важное значение в П. т. имеет вопрос о возможности изгибания поверхности: можно ли утверждать, что данная поверхность будет изгибаемой? Математически этот вопрос формулируется следующим образом: возможно ли включить данную регулярную поверхность в однопараметрическое семейство изометричных неконгруэнтных регулярных поверхностей (конгруэнтные поверхности — поверхности, совмещаемые движением). Достаточно малые куски поверхностей положительной и отрицательной кривизны допускают непрерывные изгибания. Существуют поверхности с точкой уплощения (т. е. точкой, где все нормальные кривизны равны нулю), сколь угодно малая окрестность которой не допускает изгибания. Последний результат установлен советским геометром Н. В. Ефимовым. Кроме самой возможности изгибания, рассматриваются и изгибания специальных типов.

Задача изгибания поверхностей тесно связана с задачей определения поверхности по заданным основным квадратичным формам, получившей полное решение в работах немецкого математика К. Гаусса, русского математика К. М. Петерсона, итальянских математиков Г. Майнарди и Д. Кодацци и французского математика О. Бонне. Поскольку значение полной кривизны К поверхности может быть выражено через коэффициенты первой квадратичной формы, то уравнение (3) является одним из соотношений, связывающих коэффициенты первой (1) и второй (2) форм. Другие два соотношения

(4)

(здесь ; ; ; — Кристоффеля символы второго рода) были установлены в 1853 К. М. Петерсоном. Справедливо и обратное утверждение — если коэффициенты двух форм, одна из которых положительно-определённая, удовлетворяют уравнениям (3) и (4), то существует определённая с точностью до движения и зеркального отражения поверхность, для которой указанные формы будут первой и второй квадратичными формами.

К числу наиболее важных проблем П. т. относится проблема разыскания признаков, которые позволяют по заданным двум основным квадратичным формам поверхности (в произвольных координатах) установить, относится ли поверхность к данному классу поверхностей или нет. Для решения этой общей проблемы, как и многих других проблем П. т., используются методы тензорного исчисления.