БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ФО)

М. С. Каган.

Формализо'ванный язы'к,

1) в широком смысле – любая совокупность некоторым образом специализированных языковых средств с (более или менее) точно фиксированными правилами образования «выражений» (синтаксис Ф. я.) и приписывания этим выражениям определённого смысла (семантика). В таком употреблении термин «Ф. я.» не предполагает, вообще говоря, никаких специальных ограничений ни на синтаксическую структуру, ни на семантические правила, ни на назначение такого языка. Например, выражения «Н 2О», «вода», «eau», «water», «Wasser», «vesi» и т.д. можно, в принципе, в равной мере считать элементами «Ф. я. химии».

2) Под Ф. я. в логике понимают интерпретированное исчисление, т. е. некоторую формальную систему вместе с её интерпретацией. Использование Ф. я. – характерная особенность математической логики, которую часто и определяют как «предмет формальной логики, изучаемый посредством построения формализованных языков». Следует, впрочем, заметить, что такого рода «определения» отнюдь не являются неотъемлемым атрибутом изложении математической логики: понятие Ф. я. не только не входит (как правило) в предметные логико-математические языки, но не является, строго говоря, и элементом никакого конкретного метаязыка, будучи скорее удобным рабочим термином для предварительных эвристических пояснений предмета этой науки.

Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, Введение (§§ 00–09).

Формали'н,формоль, водный (обычно 37–40% -ный) раствор формальдегида, содержащий 4–12% метилового спирта в качестве стабилизатора; бесцветная жидкость со своеобразным острым запахом. При длительном хранении (особенно на холоду) Ф. мутнеет вследствие выпадения белого осадка – параформальдегида. Применяют как удобный источник формальдегида, например в производстве поливинилформаля (см. Поливинилацетали ), как антисептическое и дезодорирующее средство, например для дезинфекции помещений, одежды, инструментов, обработки рук, спринцевании, для сохранения анатомических препаратов, дубления кожи, как фунгицид для протравливания семян, клубней и семенных корнеплодов перед посевом или посадкой. Входит в состав формальдегидной мази и формидрона, применяемых при повышенной потливости; лизоформа, используемого для спринцеваний, дезинфекции рук и помещений. Ф. среднетоксичен для человека и теплокровных животных.

Формальдеги'д(от лат. formica – муравей), муравьиный альдегид, CH 2O, первый член гомологического ряда алифатических альдегидов; бесцветный газ с резким запахом, хорошо растворимый в воде и спирте, t кип– 19 °С. В промышленности Ф. получают окислением метилового спирта или метана кислородом воздуха. Ф. легко полимеризуется (особенно при температурах до 100 °С), поэтому его хранят, транспортируют и используют главным образом в виде формалина и твёрдых низкомолекулярных полимеров – триоксана (см. Триоксиметилен ) и параформа (см. Параформальдегид ).

Ф. очень реакционноспособен; многие реакции его лежат в основе промышленных методов получения ряда важных продуктов. Так, при взаимодействии с аммиаком Ф. образует уротропин (см. Гексаметилентетрамин ), с мочевиной – мочевино-формальдегидные смолы, с меламином – меламино-формальдегидные смолы, с фенолами – феноло-формальдегидные смолы (см. Феноло-альдегидные смолы ) , с фенол- и нафталинсульфокислотами – дубящие вещества, с кетеном – b- пpoпиолактон. Ф. используют также для получения поливинилформаля (см. Поливинилацетали ) , изопрена, пентаэритрита, лекарственных веществ, красителей, для дубления кожи, как дезинфицирующее и дезодорирующее средство. Полимеризацией Ф. получают полиформальдегид. Ф. токсичен; предельно допустимая концентрация в воздухе 0,001 мг/л.

Форма'льная арифме'тика,формулировка арифметики в виде формальной (аксиоматической) системы (см. Аксиоматический метод ) . Язык Ф. а. содержит константу 0, числовые переменные, символ равенства, функциональные символы +, •, ' (прибавление 1) и логические связки (см. Логические операции ) . Постулатами Ф. а. являются аксиомы и правила вывода исчисления предикатов (классического или интуиционистского в зависимости от того, какая Ф. а. рассматривается), определяющие равенства для арифметических операций:

а + 0 = а , а + b’ = ( а + b ),

а •0 = 0, а • b’ = ( а • b ) + а ,

аксиомы Пеано:

ù( а’ = 0), a’ = b’ ® а = b ,

( a = b & а = с ) ® b = с , а = b ® a ' = b '

и схема аксиом индукции:

А (0) & " x ( А ( х ) ® А ( x ')) ® " xa ( x ).

Средства Ф. а. достаточны для вывода теорем элементарной теории чисел. В настоящее время, по-видимому, неизвестно ни одной содержательной теоретико-числовой теоремы, доказанной без привлечения средств анализа, которая не была бы выводима в Ф. а. В Ф. а. изобразимы рекурсивные функции и доказуемы их определяющие равенства. Это позволяет, в частности, формулировать суждения о конечных множествах. Более того, Ф. а. эквивалентна аксиоматической теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы бесконечности: в каждой из этих систем может быть построена модель другой.

Ф. а. удовлетворяет условиям обеих теорем Гёделя о неполноте. В частности, имеются такие полиномы Р , Q от 9 переменных, что формула " x 1 ... " x 9( P ¹ Q ) невыводима, хотя и выражает истинное суждение, а именно непротиворечивость Ф. а. Поэтому неразрешимость диофантова уравнения Р - Q = 0 недоказуема в Ф. а. Непротиворечивость Ф. а. доказана с помощью трасфинитной индукции до ординала e 0(наименьшее решение уравнения w e= e). Поэтому схема индукции до e 0недоказуема в Ф. а., хотя там доказуема схема индукции до любого ординала a < e 0. Класс доказуемо рекурсивных функций Ф. а. (т. е. частично рекурсивных функций, общерекурсивность которых может быть установлена средствами Ф. а.) совпадает с классом ординально рекурсивных функций с ординалами < e 0.

Не все теоретико-числовые предикаты выразимы в Ф. а.: примером является такой предикат T, что для любой замкнутой арифметической формулы А имеет место Т (é А ù) « А, где é А ù – номер формулы А в некоторой фиксированной нумерации, удовлетворяющей естественным условиям. Присоединение к Ф. а. символа Т с аксиомами типа