Адин Штайнзальц - Социология невежества

Мы не найдем другой такой сферы, где бы поворот в сторону открытого знания совершился столь наглядным образом, как в сфере представлений о математическом доказательстве, которые впервые возникли у греков. Возьмем к примеру теорему Пифагора, доказывающую, что площадь квадрата, стороной которого является гипотенуза прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, стороны которых являются катетами этого треугольника.

Эта теорема в качестве эмпирического положения была известна еще древним египтянам, которые широко использовали ее при землемерных вычислениях. И понимали, как это представляется, что в руках у них надежное правило, не знающее исключений. Тем не менее египтяне даже не пытались доказать это правило; мало того, даже само понятие доказательства было чуждо египетской математике.

Напротив, Евклидовское геометрическое доказательство, как и предшествующее ему пифагоровское (несмотря на то, что доказательство у Пифагора было чрезвычайно примитивным, намного более примитивным, чем то, которое использовал 150 лет спустя Евклид в своих Основаниях геометрии), покоилось на незыблемых принципах. Это было абсолютное доказательство, справедливое для любого прямоугольного треугольника, не терпящее никаких исключений. Эмпирически, с точки зрения практики, у доказательства нет никакого преимущества. Теоремой Пифагора можно пользоваться независимо от того, знаешь ты ее доказательство или не знаешь, а доказательство является исключительно идеалом чистого умозрения. Обратим внимание на другое столь же знаменитое доказательство Евклида — доказательство того, что среди натуральных чисел не существует самого большого простого числа. Доказательство Евклида гласит: предположим, что существует самое большое простое число. Построим число, являющееся произведением всех простых чисел, включая то, которое считается самым большим, и прибавим к нему единицу. Это новое число — то есть произведение всех простых чисел плюс единица — либо само является простым числом, либо является произведением простых чисел, каждое из которых больше, чем число, названное нами самым большим простым числом. И действительно, рассматриваемое нами число, то есть произведение всех простых чисел, включая то, которое считается самым большим, плюс единица, не делится без остатка ни на самое первое из простых чисел, то есть на два, ни на три, ни на пять, ни на семь, ни на одиннадцать, ни на тринадцать, ни на любое другое простое число. Значит, оно может делиться только на такое простое число, которое больше того числа, про которое мы предположили, что оно является самым большим простым числом. Следовательно, наше исходное предположение неверно и самого большого простого числа не существует. Ради чего мы целиком привели это доказательство? Ради двух вещей, которые мы можем из него понять. Во-первых, что это доказательство не потеряло своей актуальности и поныне и является базисом того, что в современной математике называется теорией чисел. Большое число теорем в той или иной мере связано с этим евклидовским доказательством, в том числе доказанное уже в 19 столетии утверждение, что между кратными числами находится по крайней мере одно простое число.

Но важнее другое. Это доказательство является абсолютным; это не эмпирическое доказательство. Оно не показывает, каким образом следует проверять простые числа, чтобы отыскать среди них самое большое, а является доказательством, имеющим силу для любого числа. И наконец, это доказательство не имеет никакого практического значения. И действительно, оно не учит нас тому, как строятся простые числа. Напротив, следует сказать, что это доказательство является самым первым примером того, что в математике зовется доказательством существования. Мы доказываем существование математического объекта даже в том случае, когда мы не умеем его построить. Таким путем уже много позже были найдены иррациональные числа, трансцендентные числа и еще целая группа весьма важных чисел. Справедливости ради следует добавить, что значительная часть того, что зовется числом в современной математике, является тем, существование чего можно доказать, но что нельзя построить.

Двум упомянутым выше культурам, греческой и еврейской, была свойственна одна важная особенность, способная стать инструментом для создания общества, обладающего открытым знанием. Эту особенность можно с некоторой натяжкой назвать склонностью к интеллектуальной игре. Ведь речь идет об обществе, которое в определенном смысле можно назвать свободным, обществе, члены которого занимаются вещами, представляющими для них интерес. И они находят нужным посвящать свое время такого рода рассуждениям, которые можно охарактеризовать как чистую науку, как изучение ради изучения. Это явление, совершенно новое для той эпохи, возникло в каждом из этих обществ в характерной для него форме и обрело характерные для этого общества способы выражения. Вместе с тем рассуждения необязательно должны были приводить к практическим результатам, поскольку практическое использование этих рассуждений не во всех случаях представлялось уместным. Таким образом, в сфере открытого знания происходит легитимация игры или длительных штудий, которые не могут быть втиснуты в узкие рамки той или иной практической дисциплины. Ни еврейский мудрец, ни греческий философ никогда не задавались вопросом: какая от этого польза? Тот факт, что исследование такого рода узаконено, открывает новые возможности для познания. И в связи с этим понятие доказательства ради доказательства перестает быть лишь интеллектуальным изыском, существующим ради самого себя. В аспекте того, изучением чего мы занимаемся, это понятие становится посредником и проводником такого положения вещей, при котором предмет знания перестает быть закрытым, таинственным, и поэтому доступным только для посвященных. Такое явление, как доказательство, позволяет каждому человеку провести рассуждение, понять его и усвоить.

И еще: мы имеем в виду не только то, что у любого человека имеется доступ к этому знанию, но и то, что это знание вовсе не характеризуется тем, что человек, обративший на него внимание, способен постичь его с первого взгляда. Это не интуитивное знание, а такое знание, которое осознает собственные критерии, свои собственные меры оценки, и именно на этом зиждется тот метод доказательства от противного, которым руководствовался Евклид в рассмотренной нами теореме, и все остальные теоремы и доказательства, изложенные Евклидом систематическим образом как строгая наука с использованием научного инструментария, который чуть позже был описан Аристотелем в учении, названном им логикой. Логика — это учение о тех общих принципах, которые открыты для каждого, универсальны, которые можно сформулировать и при помощи которых знание доказывает свое право называться истинным знанием.