Уильям Паундстоун - Как сдвинуть гору Фудзи

Есть два способа движения, при котором муравьи не встретятся друг с другом: они все должны двигаться по часовой стрелке или все против часовой стрелки. В противном случае встречи им не избежать.

Выберите одного муравья и назовите его, например, Биллом. После того, как Билл решил, в какую сторону двигаться (по часовой стрелке или против часовой стрелки), другие муравьи должны двигаться в том же направлении, чтобы не столкнуться. Поскольку муравьи принимают решение случайным образом, шансы на то, что второй муравей направится в ту же сторону, что и Билл, — один из двух, аналогично и для третьего муравья эта вероятность такая же. Это значит, что вероятность избежать столкновения — один из четырех.

Четыре собаки находятся в разных углах большого квадрата…

Чтобы упростить решение задачи, предположим, что длина стороны квадрата 1 миля, а собаки — это гончие, выведенные генетиками, которые бегут со скоростью ровно одна миля в минуту. Представьте себе, что вы блоха, которая едет на спине собаки номер 1. У вас есть крошечный радар, который позволяет вам точно измерить скорость движения других объектов относительно вашей системы отсчета (ею служит в данном случае собака номер 1, в шерсть который вы вцепились пятью вашими лапками, а в шестой вы держите радар). Собака 1 преследует собаку 2, которая преследует собаку 3, которая преследует собаку 4, которая, в свою очередь, преследует собаку 1. В начале погони вы направляете радар на собаку 4 (которая гонится за вами). Радар вам сообщает, что собака 4 приближается к вам со скоростью 1 миля в минуту.

Чуть позже вы снова проверяете показания вашего ручного радара. И что же вы видите теперь? В этот момент все собаки уже пробежали какое-то расстояние и находятся ближе друг к другу и все они немного изменили направление движения, чтобы направляться точно к той собаке, которую они преследуют. Четыре собаки все еще образуют правильный квадрат. Каждая из них по-прежнему преследует свою «собаку-мишень» со скоростью 1 миля в минуту, и каждая «мишень» движется, как и раньше, под прямым углом к преследователю. Поскольку все мишени движутся под прямым углом к направлению движения преследователей, те догоняют их на полной скорости. Это означает, что ваш радар по-прежнему покажет, что собака 4 приближается к вам со скоростью 1 миля в минуту.

Такими же будут показания радара в течение всей погони: собака 4 приближается к вам на скорости 1 миля в минуту. Все эти рассуждения о блохах и радарах — всего лишь красочный способ проиллюстрировать то, о чем говорится в условии задачи: собаки догоняют свои «мишени» с постоянной скоростью.

Не играет никакой роли, что ваша система отсчета (то есть собака) сама движется относительно других собак. Эта система отсчета не хуже любой другой (если интервьюеры станут к вам приставать по этому поводу, отвечайте им, что так сказал Эйнштейн). Единственное, что играет роль, — собака 4 приближается к вам с постоянной скоростью. Поскольку в начале погони собака 4 находилась от вас на расстоянии одной мили и приближалась к вам с постоянной скоростью 1 миля в минуту, она непременно столкнется с вами через одну минуту. Блохи-наездники на других собаках, несомненно, придут к такому же выводу. Все собаки столкнутся друг с другом через минуту после старта.

Где это произойдет? Собаки движутся по абсолютно симметричным траекториям. Было бы странно, если бы они при этом отклонились на «две трамвайные остановки» к востоку или западу. Нет никакой силы, которая бы подталкивала их к востоку или западу. Что бы ни происходило, симметрия исходной ситуации должна сохраниться. Если уж собакам суждено догнать друг друга — это произойдет точно в середине квадрата.

Если посмотреть сверху, то траектория движения каждой из собак окажется изящной спиралью, но вам не нужно этого знать, чтобы решить задачу. Вам также не нужно использовать, вопреки тому, что предлагают многие люди, интегральное исчисление. Этот вопрос как раз и проверяет, не помешают ли вам школьные знания высшей математики найти более простое решение.

Эту задачу также в 1950-х годах упоминал Мартин Гарднер. [142]

Поезд отправляется из Лос-Анджелеса в Нью-Йорк с постоянной скоростью…

Птица всегда останется самым быстрым объектом в этой головоломке. Ничего из того, что делает птица, никак не может повлиять на то, что происходит с поездами.

Назовем поезда Восточным (тот, что идет на восток) и Западным (тот, что идет на запад). Поскольку птица быстрее, чем Восточный поезд, она долетит до Западного поезда раньше, чем он встретится с Восточным, то есть до крушения.

В тот самый миг, когда птица долетит до Западного поезда, она поворачивает и летит в обратную сторону. Теперь она уже летит впереди Западного поезда на запад навстречу Восточному. И снова птица первая встретится со встречным поездом. Она снова поворачивает обратно, и начинается новый цикл. Единственная разница в том, что с каждым новым циклом поезда оказываются все ближе и ближе друг к другу. Неважно, насколько близко, потому что птица каждый раз успевает улететь в обратную сторону еще до того, как произойдет столкновение. Это значит, что птица снует туда-сюда бесчисленное множество раз.

Во всяком случае теоретически. За мгновение до столкновения птица окажется зажатой между поездами, которые ее раздавят, но вы можете не обращать внимания на подобные кровавые подробности.

Труднее игнорировать бесконечные ряды. Большинство людей, которых интервьюируют в Microsoft, когда-то изучали их, но многие уже позабыли ко времени интервью в Редмонде.

Вообще-то можно не беспокоиться о бесконечных рядах. Два поезда сближаются с относительной скоростью 35 миль в час (15 + 20 миль в час). Допустим, расстояние между Нью-Йорком и Лос-Анджелесом — 3500 миль. Тогда столкновение поездов произойдет через 3500/35, или 100 часов.

Все это время птица будет в полете, летая между поездами с постоянной скоростью 25 миль в час. Хотя направление полета и меняется, она тем не менее постоянно летит именно с этой скоростью. Таким образом, летая со скоростью 25 миль в час в течение ста часов, птица пролетит 25 х 100 = 2500 миль. Или, если D — это реальное расстояние между Лос-Анджелесом и Нью-Йорком, то столкновение между поездами произойдет через D/35 часов, а птица за это время пролетит 25D / 35, или 5D / 7 миль.

Рассказывают, что кто-то задал один из вариантов этой задачи математику Джону фон Нейману (1903-1957). Тот так быстро дал ответ, что его знакомый сказал: «Ну, ты, наверное, знал, в чем здесь трюк».