Уильям Паундстоун - Как сдвинуть гору Фудзи

Британский эксперт по головоломкам Генри И. Дьюдени вызвал при помощи этой игры ажиотаж в своем клубе в Лондоне (там они выкладывали на стол сигары [154]). Игра описана в опубликованной в 1917 году книге Дьюдени Amusements in Mathematics («Математические развлечения»). Версия Дьюдени с сигарами была особенно хитрой. Его уловка, которая всегда приносила ему выигрыш, была такой: он ставил сигару в самый центр стола вертикально. Следующие сигары можно было также ставить на стол вертикально или класть их на стол — это было безразлично, поскольку Дьюдени всегда мог отвечать противнику симметричным ходом. Американский соперник Дьюдени Сэм Ллойд использовал его идею, творчески ее развив: он использовал в игре куриные яйца. Чтобы яйцо могло стоять, нужно сделать небольшую вмятину на тупом конце яйца. [155]

Пять пиратов на острове должны разделить между собой сотню золотых монет…

Насколько нам известно, у пиратов равные права на монеты. Простейший план — поделить монеты поровну на пять частей. Тогда каждый получит по двадцать монет. Что плохого в таком решении?

В общем ничего, за исключением того, что вас могут убить. Вы предложите такое решение, а другие четыре пирата могут подумать, что двадцать монет — это хорошее решение, но двадцать пять монет — еще лучше. Именно столько они и получат, если проголосуют против вашего плана и убьют вас. Потом они снова начнут делить ту же сотню монет, но пиратов теперь будет только четверо.

Вы можете до посинения спорить, утверждая, что поделить добычу поровну — это самый честный план, но в условии головоломки ничего не говорится о том, что пираты — люди честные. Честность — это обычно не самое нужное пиратам качество. Причем отвергнуто будет не только первое предложение поделить все поровну: то же случится и со следующими подобными предложениями. Ведь лучше делить добычу на троих, чем на четверых? А на двоих лучше, чем на троих? Вам понятно, к чему это все приведет?

Эта загадка напоминает телевизионное шоу «Последний герой». В этом шоу его участники голосуют за то, кого из соперников выгнать с острова, надеясь, что именно они останутся его последним обитателем и выиграют денежный приз. Участники этого шоу обычно стремятся к победе, формируя кратковременные коалиции. Сходный подход применяется и здесь. Поскольку вы рискуете своей жизнью, а не просто потерей возможности стать на пятнадцать минут «звездой экрана», вы хотите быть стопроцентно уверены, что ваш план раздела добычи будет принят.

Эта головоломка — еще одно упражнение в рекурсивных рассуждениях. Чтобы найти решение, нужно понять, что ситуацию с n пиратов можно анализировать на основе ситуации с n — 1 пиратов и т.д., пока вы не доберетесь до «базовой ситуации», решение в которой будет абсолютно ясным.

Базовая ситуация — это один выживший пират. Очевидно, что единственный пират предложит отдать ему все монеты. Ход сделан!

А что если пиратов двое? Старшему из них придется предложить, как делить добычу. В условии головоломки говорится, что предложение принимается, если «по крайней мере половина пиратов» за него проголосует. Это значит, что достаточно одного голоса старшего пирата, чтобы предложение было принято. Следовательно, если пиратов всего двое, то старшему из них бояться нечего, и он может не беспокоиться о том, что думает его товарищ. Будучи жадным негодяем, старший пират предложит отдать все сто монет ему. Результаты голосования будут такими: один голос «за» и один «против» — это значит, что предложение будет принято.

Может показаться, что старший пират всегда получит то, чего он хочет. Не совсем так. Представьте, что он решил воспользоваться тем же трюком, если пиратов трое. Давайте пронумеруем пиратов, начиная с самого младшего: №1, №2, №3. План раздела добычи должен предложить номер 3. Если он предложит такой план: «Все достается мне, а вы, ребята, ничего не получите», то следующий пират в этой последовательности (№2) точно проголосует против подобного предложения. Пират №2 знает, что он сам получит все, если останутся только два пирата после того, как №3 будет убит. Решающим оказывается голос пирата №1. Он ничего не получает, если проголосует за план пирата №3 , но также ничего не получит, если проголосует против, если останутся только два пирата. У него нет никаких причин, чтобы предпочесть один вариант другому.

Итак, если №3 умен, как это предполагается в головоломках, он попытается получить поддержку пирата №1. Нужно также учесть, что пират №3 жадный, и он готов отдать другому пирату только необходимый минимум. Логичным предложением со стороны пирата №3 будет дать №1 одну золотую монету, №2 — ничего, а ему самому — оставшиеся девяносто девять монет! Поскольку №1 также рассуждаете логично, но поймет, что и эти жалкие гроши лучше, чем ничего, а ведь он ничего не получит, если пират №3 будет убит. Пират №1 проголосует за план раздела добычи (как и №3, конечно), и это предложение будет принято двумя голосами против одного несмотря на все проклятия накачавшегося с горя ромом пирата №2.

Теперь рассмотрим ситуацию с четырьмя пиратами. Четыре — это опять четное число. Это значит, что самому старшему пирату достаточно всего одного голоса, кроме его собственного, чтобы его предложение прошло. Ему нужно ответить на вопрос: «Какой из голосов остальных трех пиратов окажется самым дешевым?»

Вернемся к ситуации с тремя пиратами. Пират №2 не получает в ней ничего, поэтому если пират №4 предложит ему хотя бы что-то, то для пирата №2 будет логично проголосовать «за».

И получив голос пирата №2, пират №4 может совсем не беспокоиться о том, что думают №1 и №3. План пирата №4 будет таким: ни одной монеты для №1, одна монета для №2, ни одной монеты для №3 и девяносто девять монет для него самого.

Теперь модель нам ясна. В каждом случае самый старший пират должен «купить» ровно столько голосов, сколько ему необходимо, и как можно дешевле. Все остальные деньги достанутся ему самому.

Теперь применим эту модель к ситуации с пятью пиратами, о которой речь и идет в задаче. Вы пират №5. Вам нужно три голоса: ваш собственный и еще два. Таким образом, вам нужно что-то дать двум пиратам, которые больше всего проиграют, если пиратов останется только четверо. Это пираты №1 и №3. Оба не получат ничего, если вас убьют и останется всего четыре пирата. Обоих можно убедить проголосовать за ваш план, если он им что-нибудь сулит. Ваше предложение: ничего не давать пирату №4, дать одну монету №3, ничего не дать №2 и дать одну монету №1. Оставшиеся девяносто восемь монет вы оставите себе.

Это одно из тех абсолютно не соответствующих здравому смыслу решений, которые убеждают многих людей в абсурдности логических головоломок. Если бы пираты формировали коалиции на основе дружеских отношений (что и происходит в телешоу «Последний герой»), все эти рассуждения оказались бы бессмысленными. Но даже если не принимать в расчет возможные дружеские коалиции, решение все равно выглядит сомнительным. Вы можете поверить, что пираты (или наркоторговцы, мафиози, какие-нибудь другие бесчестные эгоисты) спокойно проголосуют за схему, которая вам дает девяносто девять монет, а они получают или одну монетку, или вообще ничего? Да остальные четверо сначала вас застрелят, а уже потом станут заниматься дедукцией.