Роберт К. Мертон - Финансы

С помощью уравнений 12.1 и 12.2 можно определить состав других эффективных портфелей, которые описываются точками между G и J и имеют, следовательно, более высокую ожидаемую ставку доходности и меньшее значение стандартного oтклонения всравнении с рискованным активом 2. Рассмотрим, например, портфель, который на 62,5% состоит из рискованного актива 1 и на 37,5 % — безрискового актива. Его ожидаемая ставка доходности равна 0,11 в год, а стандартное отклонение составляет 0,125.

Контрольный вопрос 12.7

Как инвестор может получить ожидаемую ставку доходности в 0,105 годовых, вложив средства в рискованный актив 1 и безрисковый актив? Каким будет стандартное отклонение такого портфеля? Сравните это значение со стандартным отклонением рискованного актива 2.

Рис. 12.2. Эффективность портфеля

Примечание. В точке R портфель на 100% состоит из инвестиций, вложенных в рискованный актив 2 с ожидаемой ставкой доходности 0,08 и  = 0,15. Инвестор может получить более высокую ожидаемую доходность и меньшее стандартное отклонение в любой точке прямой, проходящей через точки G и J.

12.3. ЭФФЕКТИВНАЯ ДИВЕРСИФИКАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ 1РИ НАЛИЧИИ МНОГИХ РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ

Рабочая книга Несмотря на то что инвестирование исключительно в рискованный актив 2 само по себе неэффективно, может быть, имеет смысл объединить в одном портфеле два вида рискованных активов? Или добавить к двум видам рискованных активов безрисковые?

Мы исследуем способы эффективного объединения трех активов в два этапа. На 1ервом этапе мы рассмотрим соотношение риска и доходности, достигаемое объединением только рискованных активов 1 и 2; на втором этапе мы добавим к ним безрисковый актив.

12.3.1. Портфели из двух рискованных активов

Объединение в одном портфеле двух видов рискованных активов аналогично объединению рискованного актива с безрисковым; эта тема обсуждалась в разделе 12.2. Просмотрите еще раз табл. 12.1, рис. 12.1 и уравнения 12.1 и 12.2.) Если один из двух активов безрисковый, то стандартное отклонение его ожидаемой ставки доходности и корреляция с другим активом равны нулю. Если оба актива являются рискованны-, w, то так или иначе необходим анализ соотношения риск/доходность.

Формула для вычисления среднего значения ставки доходности любого портфеля, в котором w — это доля рискованного актива 1, а (1 - w) — это доля рискованного актива 2, имеет следующий вид:

Е(r) = wE(r 1)+(l-w)E(r 2) (12.4)

В свою очередь формула дисперсии такова:

 2=  1 2+ (1 - w) 2 2+ 2w (1 - w) p  1 2(12.5)

Эти два уравнения можно сравнить с уравнениями соответственно 12.1 и 12.2. Сравнение 12.4 — это, по сути, уравнение 12.1, только вместо процентной ставки безрискового актива r rв него вставлена ожидаемая доходность рискованного актива 2, Е (r 2 ) Уравнение 12.5 — это более общая форма уравнения 12.2. Если актив 2 безрисковой, то  2 = 0 и уравнение 12.5 упрощается до вида уравнения 12.2. В табл. 12.2 сведены наши оценки распределения вероятности ставок доходности скованных активов 1 и 2. Обратите внимание: мы исходим из предположения, что коэффициент корреляции равен нулю (р = 0).

В табл. 12.3 и в рис. 12.3 показаны комбинации средних значений и стандартных отклонений доходностей, которые можно получить при объединении в одном портфеле рискованного актива 1 и рискованного актива 2. Точка S на рис. 12.3 соответствует портфелю, который состоит исключительно из рискованного актива 1, а точка R — пор тфелю, состоящему исключительно из рискованного актива 2.

Давайте покажем, как ожидаемые ставки доходности и стандартные отклонения в In 12.3 рассчитываются по формулам 12.4 и 12.5. Рассмотрим портфель С, который эит на 25% из рискованного актива 1 и на 75% — из рискованного актива 2.

Щ

Рискованный актив 1

Й.йЙйЙй.Йй?;

Рискованный актив 2

Среднее значение

'/!-

Эгакдартное отклонение рйрреляция

0,14 0,20 0

0,08 0,15 0

Соотношение риск/доходность для портфелей с двумя рискованными

eSllleSltESgeKeeiBe

пь

Доля средств, вложенная в рискованный актив 1 (%)

Доля средств, вложенная в рискованный актив 2 (%)

Ожидаемая ставка доходности

Стандартное отклонение

0

100

0,0800

0,1500

25

75

0,0950

0,1231

|ьная я

36

64

0,1016

0,1200

50

50

0,1100

0,1250

100

0

0,1400

0,2000

1одставив необходимые значения в уравнение 12.4, мы найдем, что ожидаемая ва доходности в точке С составит 0,095 в год:

jE'(r)=0,25 E(r,) +0,75 E{r} =0,25х0,14 +0,75х0,08 =0,095 ставив в уравнение 12.5 значение w, мы выясним, что стандартное отклонение

(Т 2= W 22+ (1 - w) (7 2+ 2w (1 - w) pO'iO'2

=0,25 2x0,2 2+0,75 2x0,15 2+0 =0,01515625

о- =УО,01515625 =0,1231

Рис. 12.3. Кривая соотношения риск/доходность: только рискованные активы

Примечание. Предполагается, что £'("/•=0,14, о-/=0,20, E(r)=0,OS, crj=0, 15, /т=0.

Давайте с помощью табл. 12.3 исследуем кривую, соединяющую на рис. 12.3 точки R и S. Начнем с точки R и переместим часть наших капиталов из рискованного актива 2 в рискованный актив 1. При этом наблюдается не только повышение средней ставки доходности, но и снижение стандартного отклонения. Оно снижается до тех пор, пока мы не получим портфель, который на 36% состоит из инвестиций в рискованный актив 1 и на 64% — в рискованный актив 2 6.

Эта точка характеризует портфель с минимальной дисперсией (minimum-variance portfolio), состоящий из рискованного актива 1 и рискованного актива 2. Если в рискованный актив 1 инвестируется более 36% общего капитала, то стандартное отклонение портфеля увеличивается.

Контрольный вопрос

Каково среднее значение доходности и ее стандартное отклонение для портфеля, который на 60% состоит из рискованного актива 1 и на 40% — из рискованного актива 2, если их коэффициент корреляции равен 0,1? .

6 Формула, описывающая долю рискованного актива 1, которая минимизирует дисперсию портфеля, выглядит следующим образом:

12.3.2. Оптимальная комбинация рискованных активов

Теперь давайте рассмотрим комбинации риск/доходность, которые мы можем подучить посредством объединения безрискового актива с рискованными активами 1 и 2. На рис. 12.4 показано графическое представление всех возможных комбинаций риск/доходность; этот рисунок показывает также, как можно получить оптимальную комбинацию рискованных активов для объединения с безрисковым активом.

Стандартное отклонение

Рис. 12.4. Оптимальная комбинация рискованных активов Примечание. Предполагается, что Гу=0,06, £/-=0,14, сг/=0,20, £)=0,08, сг;=0,15, /?=0.

Сначала проанализируем прямую линию, соединяющую точку F с точкой S. Она нам уже знакома, поскольку представляет собой график соотношения риск/доходность, который мы видели на рис. 12.1. Прямая показывает ряд комбинаций риск/ доходность, которые могут быть получены посредством объединения безрискового актива с рискованным активом 1.