Анатолий Фоменко - Числа против лжи.

Коэффициент c(a, b) можно условно назвать ВССД, то есть вероятностью случайного совпадения династий а и b.

Дадим теперь формальное определение коэффициента c(a, b). Обозначим через D множество всех реальных династий длины k, то есть состоящих из k последовательных царей. Фактически за множество D нам придется взять те исторические династии, сведения о которых дошли до нас в сохранившихся хрониках. Практически полный список всех таких династий мы составили на основе большого числа разнообразных хронологических источников, перечисленных ниже. На их основе мы составили список всех групп из 15 последовательных царей, правивших, согласно скалигеровской хронологии, в интервале от 4000 года до н. э. до 1900 года н. э. в Европе, Средиземноморье, на Ближнем Востоке, в Египте, Азии.

Каждую летописную династию можно условно изобразить вектором в евклидовом пространстве R kразмерности k. В нашем конкретном эксперименте мы брали k = 15, см. выше. Мы будем считать две династии существенно различными, если число царей, или реальных правителей, входящих одновременно в обе эти династии, не превышает k/2, то есть — половины числа членов всей династии. Две взятые наугад реальные династии могут пересекаться, иметь общих членов, поскольку каждый раз мы можем произвольно объявить того или иного царя «началом династии». Наряду с зависимыми и независимыми династиями имеются еще и «промежуточные», «нейтральные» пары династий, в которых число общих царей, или реальных правителей, превышает k/2 (однако династии не являются зависимыми). Ясно, что если общее число рассматриваемых династий велико, то количество промежуточных, нейтральных пар династий относительно мало. Поэтому основное внимание можно уделять зависимым и независимым парам династий.

Сформулированный выше принцип малых искажений означает, что на практике, «в среднем», летописцы ошибались все-таки незначительно, то есть не очень сильно искажали реальные числовые данные.

Обсудим теперь ошибки, которые чаще всего делали летописцы при вычислении длительностей правлений древних царей. Эти три типа ошибок были выделены нами при обработке большого числа конкретных исторических текстов. Выяснилось, что именно эти ошибки чаще всего приводили к искажению реальных длительностей правлений царей.

Ошибка первая.Перестановка, путаница двух соседних царей.

Ошибка вторая. Замена двух царей одним, длительность правления которого равна сумме длительностей их правлений.

Ошибка третья.Неточность в вычислении самой длительности правления царя. Чем больше эта длительность, тем бóльшую ошибку обычно допускал летописец при ее определении.

Эти три типа ошибок можно описать и смоделировать математически. Начнем с ошибок (1) и (2). Рассмотрим какую-либо династию p = (p 1, p 2,…, p k) из множества D. Вектор q = (q 1, q 2,…, q k) мы назовем ВИРТУАЛЬНОЙ ВАРИАЦИЕЙ вектора (династии) р, и будем обозначать его через q = vir(p)r если каждая координата q iвектора q получается из координат вектора р одной из следующих двух процедур.

(1) Либо q i= p i(то есть координата не меняется), либо p iпереставляется с p i -1, либо p iпереставляется с p i +1, то есть с одной из «соседних координат» вектора p.

(2) Либо q i= p i, либо q iсовпадает с числом p 1+ p i +1.

Ясно, что каждый такой вектор (династия) q можно рассматривать как летописную династию, получившуюся из реальной династии p в результате «ее размножения» под воздействием ошибок (1) и (2) летописцев. Другими словами, мы берем каждую реальную династию p = (p 1, p 2,…, p k) из списка D и применяем к ней «возмущения» (1) и (2). То есть, либо мы меняем местами два соседних числа p iи p i +1, либо заменяем какое-то число p суммой p i+ p i +1, или суммой p i -1+ p i. Для каждого номера i мы применяем указанные операции только по одному разу, то есть не рассматриваем «длинные итерации» операций на одном и том же месте i. В результате из одной династии p получается некоторое число виртуальных династий {q = vir(p)}. Количество таких виртуальных династий легко подсчитать.

Таким образом, каждая «Точка» из множества D «размножается» и порождает некоторое множество «виртуальных точек», ее окружающих, так сказать порождает «окрестное облако», «шаровое скопление», рис. 5.16. Некоторые из получившихся виртуальных династий могут встретиться нам в какой-то конкретной летописи (в этом случае они будут летописными династиями), некоторые остаются всего лишь «теоретически возможными», то есть «виртуальными».

Рис. 5.16. Каждая династия p порождает некоторое множество vir(p) виртуальных династий. Геометрически они изображаются в виде «облака», «шарового скопления», окружающего точку p в пространстве.

Объединяя все виртуальные династии, получающиеся из всех реальных династий p, составляющих наш список династий D, мы получаем некоторое множество vir(D), то есть «окутывающее облако» исходного множества династий D.

Таким образом, для каждой реальной династии M, множество изображающих ее летописных династий можно представлять себе как «шаровое скопление» vir(M). Пусть теперь даны две реальные династии M и N. Если сформулированный нами принцип малых искажений верен, то шаровые скопления vir(M) и vir(N), отвечающие двум заведомо независимым, разным реальным династиям M и N, не пересекаются в пространстве R k. То есть, они должны быть расположены достаточно далеко друг от друга, рис. 5.17.

Рис. 5.17. «Шаровые скопления» vir(M) и vir(N), отвечающие двум заведомо независимым, разным реальным династиям М и N, расположены «далеко друг от друга».

Пусть теперь а и b — две какие-то династии из множества vir(D), например, две летописные династии, рис. 5.18. Мы хотим ввести некоторую количественную меру близости между двумя династиями, то есть «измерить расстояние между ними», оценить — насколько они далеки друг от друга. Простейший способ был бы таким. Рассматривая обе династии как векторы в пространстве R kможно было бы просто взять евклидово расстояние между ними, то есть подсчитать число r(а, b), квадрат которого имеет вид:

(a 1 - b 1) 2+ … + (a k - b k) 2.

Рис. 5.18. Наглядное изображение длительностей правлений в двух династиях а и b в виде графиков.

Однако численные эксперименты с конкретными летописными династиями показывают, что это расстояние не позволяет уверенно отделить друг от друга зависимые и независимые пары династий. Другими словами, такие расстояния между заведомо зависимыми летописными династиями и расстояния между заведомо независимыми летописными династиями в некоторых случаях оказываются сравнимыми друг с другом. Оказывается, иногда они имеют «один и тот же порядок».