Генри Саггс - Величие Вавилона. История древней цивилизации Междуречья

Однако так делалось не всегда.

В период Селевкидов в таких случаях использовался специальный знак зеро —

Очевидно, что в такой системе могут возникать ошибки, что, безусловно, и происходило время от времени. Следует, однако, заметить, что профессор Нойгебауэр, крупнейший современный авторитет в области вавилонской математики, однажды признался, что сделал больше ошибок при проверке древних вычислений, чем писцы в оригинальных документах.

Математические тексты, с которыми мы знакомы, принадлежат к двум отдельным периодам, разделенным между собой тысячелетием или даже больше. Более ранняя и крупная группа дошла до нас из старовавилонского периода, вторая – из периода Селевкидов, то есть после 300 г. до н. э.

Считалось, что за относительно продвинутой старовавилонской математикой лежит долгий период постепенного развития. Однако убедительных доказательств этой гипотезы нет. Нойгебауэр справедливо указывает, что во всех периодах математического прогресса, которые нам известны, бурное развитие наблюдалось в течение века или около того между двумя периодами стагнации.

Полезно еще раз подчеркнуть, что подавляющее большинство сотен тысяч клинописных табличек имеют экономическое содержание и касаются таких прозаических вещей, как расписки, займы и нормы. Чисто математических текстов значительно меньше. В них имеются задачи и таблицы. Задачи – это описание алгебраических или геометрических задач, а табличные тексты содержат таблицы для умножения, деления и подсчета обратных величин, квадратов, квадратных корней, кубов, кубических корней и т. д. Многие табличные тексты, большинство из которых найдены в Ниппуре, очевидно, являлись школьными упражнениями. Об этом свидетельствует тот факт, что на некоторых табличках одна и та же таблица повторяется, выполненная разными людьми. На других табличках можно видеть на одной стороне математические таблицы, на другой стороне – словари (широко использовавшиеся для обучения писцов). Известно, что Ниппур был развитым центром обучения писцов в старовавилонский период, а математика, безусловно, входила в программу обучения.

Что касается уровня вавилонских математических достижений старовавилонского периода (ок. 1800 до н. э.), Нойгебауэр сравнивает его с ранним Ренессансом. В основном речь шла об алгебре, но уже были известны свойства элементарных последовательностей, таких как арифметическая и геометрическая прогрессия, а также некоторые геометрические отношения. Сегодня ясно, что сущность того, что мы называем теоремой Пифагора – в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, – было известно уже в Вавилоне. Правда, нет никаких доказательств того, что вавилоняне могли доказать эту теорему. Хотя некоторые авторы считают, что одна старовавилонская табличка, покрытая геометрическими чертежами (см. фото 34 и 35), связана с теоретическим доказательством отношения между площадями разных фигур, вавилонская математика (как и вся вавилонская наука) по большей части основывалась на эмпирических знаниях, а не на формальных доказательствах. Величина числа π была известна очень точно – 3 1/8, то есть с точностью до 0,6 процента. Этому можно противопоставить ситуацию в Израиле во времена Соломона, то есть тысячелетием позже, где число π считали равным 3. Квадратные уравнения, включающие элементы до восьмой степени, были хорошо известны, и, как уже отмечалось, существовали таблицы квадратных и кубических корней.

Далее следует краткое описание двух простых примеров старовавилонских задач. Первый пример – квадратное уравнение. Вначале приводится дословный перевод, затем (надеюсь) достаточные объяснения, чтобы сделать их понятными для читателей, когда-то изучавших элементарную алгебру.

Я добавил площадь поверхности и сторону квадрата: 45′

Ты должен записать 1, единицу.

Тебе следует разбить ее на половины: 30′

Тебе следует привести к общему знаменателю 30′ и 30′ : 15′

Тебе следует добавить 15′ к 45′ : 1

Это квадрат 1

Ты должен вычесть 30′, которое ты умножил на себя, из 1 : 30′, сторона квадрата.

Если учесть, что в математических задачах использовалась шестидесятеричная система, становится понятнее.

Тогда 45′ – это 45 / 60 = 3/4, 30′ – это 30 / 60 = 1/2, а 15′ – это 15 / 60 = 1/4. Подсчеты можно выполнить следующим образом:

Площадь квадрата плюс сторона квадрата = 3/4.

Возьмем коэффициент (линейных измерений) 1.

Половина коэффициента = 1/2

Квадратный корень из 1/2 = 1/4

1/4 + 3/4 = 1

Квадратный корень из 1 = 1

1 – 1/2 = 1/2

В современных символах процесс можно изобразить следующим образом:

(Вавилонские математики не занимались отрицательными значениями числа x.)

Старовавилонская табличка, касающаяся геометрических отношений, показана на фото 34 и 35. Текст разделен на части, каждая из которых состоит из фигуры и описания. Очевидно, студенту предлагалось посчитать площадь разных фигур. В одной части изображено следующее:

Квадрат, сторона – 1. Внутри его четыре квадранта и 16 ладьевидных фигур. Я начертил 5 правильных четырехугольников с вогнутыми сторонами.

Площадь, какова она?

Сравнительно немногие западноевропейцы, считающие себя культурными людьми, могут жить вдали от города с его загрязненным воздухом и ярким уличным освещением, что мешает видеть ночное небо. Однако, к примеру, на большей части территории Ирака эти факторы отсутствуют, и весьма значительная часть населения после наступления темноты сидит на открытом воздухе и наслаждается вечерней прохладой после изнуряющей дневной жары. Поэтому нередко получается так, что европейский турист или археолог, попавший в Ирак и вынужденный изменить свои привычки, именно здесь впервые в жизни видит ночное небо. Обычно увиденное поражает его. Любопытным следствием такого положения вещей является тот факт, что в книгах ученых-ассириологов обычно содержится утверждение о необычайной яркости ночного неба. К примеру, датский ученый пишет: «Современные путешественники рассказывали о необычайной ясности, с которой являют себя человеческому глазу созвездия, в особенности планеты в сухом, холодном и безоблачном ночном воздухе Месопотамии. Эти рассказы я могу подтвердить. Молчаливые небесные знаки буквально вынуждали наблюдать за собой с древнейших времен, и зиккураты... должно быть, были идеальными обсерваториями».