Анатолий Фоменко - Методы статистического анализа исторических текстов (часть 1)

ОБЛАСТЬ Zod B — это другая часть зодиака, попавшая в область B.

Область A — самая большая из них. Через Zod мы обозначили все звезды зодиака в «Альмагесте». Из рис. 1.15 видно — какие именно созвездия «Альмагеста» попали в эти выделенные нами семь областей звездного неба.

Для каждой из этих совокупностей звезд были найдены графики функций φ stat(t) и γ stat(t) вместе с соответствующими доверительными интервалами. На рис. 1.25 показан вид этих кривых для области Zod A. Также мы нашли среднеквадратичные ошибки до и после компенсации систематических ошибок. Анализ данных показывает, что наиболее хорошо измеренными в «Альмагесте» совокупностями звезд являются области A и Zod A. На каком основании сделан этот вывод?

Во-первых, сравниваются исходная и остаточная ошибки. Если это снижение значительно, — как в области Zod A, где ошибка снижается с уровня 22' до 13', - то есть основания говорить о малой величине случайной ошибки.

Во-вторых, принимается во внимание размер доверительной области для обнаруженных параметров φ stat(t) и γ stat(t). Так, для областей Zod A и A ширина доверительного интервала для γ stat(t) составляет всего около 10′, а например, для области D — существенно больше. Кроме того, как говорилось, снижение ошибки от первоначального уровня до «остаточного» для области D незначительно. Поэтому говорить об уверенном определении систематической ошибки для этой части неба нельзя. Можно лишь утверждать, что ошибка лежит в пределах доверительной области. Но такое неточное значение систематической ошибки для данной области, — например для D, — приводит к тому, что мы не имеем права основывать наши последующие заключения на рассмотрении координат звезд из групп, обладающих подобными свойствами. Это замечание очень важное и будет нами использовано в дальнейшем. Напомним, что цена деления шкалы каталога «Альмагеста» составляет 10 минут, то есть это — «заявленная точность» каталога. Другими словами, точность, на которую претендовал составитель каталога «Альмагеста». Другой вопрос: смог ли он реально достичь этой точности? Этот вопрос был решен нами описанным выше методом. Кроме того, таким же приемом были изучены и отдельные созвездия. Это позволило установить, что систематические ошибки в каталоге, сделанные наблюдателем для больших участков неба, в основном совпадают с систематическими ошибками, обнаруживающимися при анализе отдельных созвездий каталога «Альмагеста». Оказалось, в частности, что созвездия Рыбы, Овен, Телец, Водолей относятся к группе плохо измеренных созвездий, а Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог — к группе хорошо измеренных созвездий. Здесь мы говорим о созвездиях зодиака. Эти результаты хорошо согласуются с выводами, сделанными на основе рассмотрения больших совокупностей звезд, а именно, по несколько сотен звезд в каждой совокупности.

Далее, хотя величины φ statи γ statмы определяли с помощью методов математической статистики, это, вообще говоря, не дает оснований считать их систематическими ошибками. Дело в том, что они отвечают лишь «средним» отклонениям координат по всем звездам из рассматриваемой совокупности. Но это не противоречит тому случаю, когда отдельные созвездия имеют разные систематические ошибки, так что в итоге получается найденная нами выше ошибка. Расчеты показали, что отдельные зодиакальные созвездия из области Zod A имеют ОДНУ И ТУ ЖЕ погрешность γ=20'. В то же время они имеют отличающиеся друг от друга погрешности φ.

Такую же погрешность γ=20' имеет и часть A звездного атласа «Альмагеста». Забегая вперед, скажем, что такую же погрешность γ имеет в «Альмагесте» и совокупность именных звезд из части неба A. Мы называем именными звездами те, которые снабжены в «Альмагесте» собственными именами. Все это говорит о том, что ошибка γ ЕДИНА ДЛЯ ВСЕХ СОЗВЕЗДИЙ ИЗ ЧАСТИ НЕБА A.

Совсем иное положение с ошибкой φ. Она варьируется от созвездия к созвездию. Можно дать вполне естественное объяснение этому обнаруженному нами обстоятельству, если предположить, что координаты звезд измерялись с помощью армиллярной сферы. Это — стандартный средневековый и «античный» инструмент. На рис. 1.26 показана армиллярная сфера Тихо Браге. Схематическое изображение см. на рис. 1.27. При этом угол между плоскостями эклиптики и экватора, включающий ошибку γ, фиксируется в инструменте, а угол φ меняется от одной серии измерений к другой. См. рис. 1.28. Впрочем, это объяснение не используется нами далее.

Из проведенных рассуждений следует практический вывод. А именно, мы вправе использовать, для части неба A, найденное значение γ statв качестве систематической ошибки, содержащейся в звездном каталоге «Альмагеста». Сразу же возникает вопрос: насколько допустимо использование одного параметра, а именно γ stat, и игнорирование другого параметра, а именно φ stat? Для ответа на него удобно перейти от параметризации ошибки с помощью величин γ и φ к параметризации ошибки через величины взаимно перпендикулярных наклонов γ и β. См. рис. 1.23. Здесь γ, как и прежде, означает ошибку в положении эклиптики, а β — ошибку в положении экватора. Нетрудно показать, что β приблизительно равняется произведению φ на γ. Здесь углы измеряются в радианах. Следовательно, если γ=20′, а φ=10 градусов, то β=3′.

Преимущество параметров γ и β состоит в том, что они равноправным образом действуют на положение плоскости эклиптики. Вычисления показали, что β много меньше γ. Отметим, что в реальности β не превышает 5'. Отсюда следует, что основной вклад, с точностью до 20 %, в широтные невязки вносит составляющая γ. Именно учет этой составляющей и положен нами в схему датирования каталога. При этом мы получаем право использовать доверительные интервалы (S t) γтолько для величины γ stat(t), что упрощает вычисления.

1) Для звезд из каталога «Альмагеста» нами обнаружена систематическая ошибка γ stat(t). Эта ошибка уверенно вычисляется для совокупностей звезд A и Zod A, содержащих бóльшую часть северных и зодиакальных звезд каталога.

Эта ошибка может быть обнаружена методом наименьших квадратов. Значение γ stat(t) представляет собой угол поворота эклиптики относительно ее истинного положения в году t при условии, что каталог составлен в году t. Для величины γ stat(t) находится также доверительный интервал S γ, смысл которого следующий. Истинное значение γ stat(t) лежит в этом интервале с вероятностью не меньше p. В нашей работе было принято значение p=0.998. Итогом является построение кривой γ stat(t) и соответствующей доверительной полосы. См. рис. 1.29.

2) Проведенный статистический анализ позволяет утверждать, что гипотеза о том, что в каталоге «Альмагеста» присутствует единая систематическая ошибка, не может быть отвергнута. Именно доверительные области для найденных значений γ stat(t) для всех рассмотренных совокупностей звезд, — как больших, так и малых, — имеют не пустое пересечение, содержащее значения γ stat(t), определенные для совокупностей звезд A и Zod A.