Дэвид Шпигельхалтер - Искусство статистики. Как находить ответы в данных

К сожалению, когда в СМИ пишут о среднем , часто непонятно, следует это толковать как среднее арифметическое или как медиану. Например, Национальная статистическая служба Великобритании вычисляет средний недельный заработок (который рассчитывается как среднее арифметическое), а также публикует медианные заработки, предоставляемые местными органами. Это позволяет отличить «средний доход» (среднее арифметическое) от «дохода среднего человека» (медиана). Цены на дома имеют крайне асимметричное распределение с длинным правым хвостом элитной недвижимости, поэтому официальные индексы для цен на жилье указываются в виде медианных значений. Однако обычно пишут о «цене в среднем», что является весьма неоднозначным термином. Это «цена среднего дома» (то есть медиана)? Или «средняя цена дома» (то есть среднее арифметическое)? Как видите, перестановка слов имеет большое значение.

А теперь пришло время обнародовать результаты нашего эксперимента с мудростью толпы; может, он не такой захватывающий, как определение веса быка, зато с чуть б о льшим количеством голосов, чем у Гальтона.

Из-за наличия длинного правого хвоста среднее арифметическое 2408 было бы плохой оценкой, а мода (чаще других названное значение) 10 000, похоже, отражает склонность людей выбирать круглые числа. Поэтому предпочтительнее последовать примеру Гальтона и использовать в качестве общей оценки медиану. Она равна 1775, хотя на самом деле в банке находилось 1616 драже [46]. Правильно это число угадал только один человек, 45 % дали оценки ниже этого значения, а 55 % – выше. Поэтому наблюдается небольшая асимметрия, и мы говорим, что истинное значение находится на 45-м процентиле [47]. Медиана, которая является 50-м процентилем, дала избыточную оценку: 1775–1616 = 159 и оказалась примерно на 10 % больше правильного ответа. Только каждый десятый человек указывал оценку лучше, чем полученное медианное значение. Таким образом, мудрость толпы оказалась вполне на уровне, а именно гораздо ближе к истине, чем 90 % отдельных людей.

Разброс распределения данных

Свести распределение к единственному числу недостаточно – нужно иметь представление о разбросе данных (рассеивании, отклонении от среднего). Например, знание среднего размера обуви взрослого мужчины никак не поможет обувной фабрике определить, сколько пар обуви каждого размера производить. Один размер не годится для всех, что прекрасно иллюстрируют пассажирские кресла в самолетах.

В табл. 2.1 приведены статистические данные для выборки по драже. Она предлагает три способа демонстрации разброса. Естественный вариант – размах [48], однако он крайне чувствителен к экстремальным значениям, таким как весьма странное предположение о наличии в банке 31 337 драже [49]. Напротив, на интерквартильный размахтакие выбросы не очень влияют. Интерквартильный размах – это разность между третьим и первым квартилем (то есть 75-м и 25-м процентилем); иными словами, сюда входит «центральная половина» всех чисел, в нашем случае – от 1109 до 2599 драже. Ящик на диаграмме типа «ящик с усами» как раз и включает интерквартильный размах. Наконец, в качестве меры разброса широко используется стандартное (среднеквадратичное) отклонение.Но поскольку его сложнее вычислять и оно сильно подвержено влиянию выбросов, оно лучше всего подходит для симметричных и хорошо себя ведущих данных [50]. Например, удаление из выборки одного (почти гарантированно ошибочного) числа 31 337 приводит к уменьшению среднеквадратичного отклонения с 2422 до 1398 [51].

Таблица 2.1

Характеристики выборки для 915 предположений о количестве драже в банке. Истинное число равно 1616

Толпа в нашем маленьком эксперименте продемонстрировала значительную мудрость, даже несмотря на несколько странных ответов. Это показывает, что, хотя данные часто включают ошибки, выбросы и другие странные величины, их вовсе не обязательно выискивать и исключать. Кроме того, это указывает на полезность использования характеристик выборки, на которые не влияют даже столь эксцентричные наблюдения, как 31 337. Такие характеристики называются робастными (то есть устойчивыми) и включают медиану и интерквартильный размах. Наконец, эксперимент подчеркивает ценность обычного просмотра данных – урок, который будет подкреплен следующим примером.

Разница между группами чисел

Сколько сексуальных партнеров имеют британцы в течение жизни?

Цель этого вопроса вовсе не любопытство относительно личной жизни людей. Когда в 1980-х годах обозначилась вся серьезность проблемы СПИДа, представители организаций здравоохранения Великобритании осознали, что не располагают достоверными данными о сексуальном поведении в стране, в частности о частоте смены партнеров, количестве людей, имеющих одновременно нескольких партнеров, а также об используемых сексуальных практиках. Такая информация была необходима для прогнозирования распространения болезней, передающихся половым путем, и планирования медицинских услуг. Однако люди все еще пользовались данными Альфреда Кинси для США 1940-х годов, а он не пытался получить репрезентативную выборку.

В конце 1980-х в Великобритании и США, несмотря на противодействие определенных кругов, были проведены масштабные, дорогостоящие и тщательные исследования сексуального поведения. И хотя Маргарет Тэтчер в последний момент отказалась поддержать работы по изучению сексуальных привычек в стране, к счастью, ученые смогли найти благотворительное финансирование, и в результате каждые 10 лет после 1990 года проводят Национальное исследование сексуальных отношений и образа жизни (Natsal).

Третье исследование (Natsal-3) проводилось в 2010 году и обошлось в 7 миллионов фунтов стерлингов [52]. В табл. 2.2 представлены сводные данные из Natsal-3 о количестве сексуальных партнеров (противоположного пола), о которых сообщили люди в возрасте от 35 до 44 лет. Хорошее упражнение – использовать эти сведения, чтобы самостоятельно реконструировать, как могут выглядеть данные. Отметим, что наиболее часто встречающееся значение (мода) – это 1, то есть группа людей, у которых за жизнь был всего один партнер, по-прежнему велика. В таблице также отражены принципиальные различия между средними арифметическими и медианами, что говорит о распределениях с длинным правым хвостом. Среднеквадратичные отклонения велики, и это не лучшая мера разброса из-за неоправданно сильного влияния нескольких чрезвычайно больших значений в выборке.

Таблица 2.2