Ласло Мерё - Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

В этом и заключается фундаментальное различие между этими двумя мирами. То, что можно описать при помощи распределения Гаусса, составляющего самую основу Тихонии, часто определяется несколькими слабыми компонентами и потому остается стабильным до тех пор, пока не возникнет какого-нибудь подавляющего компонента. Сегодня это положение хорошо известно математикам, но его нужно было открыть, а для этого над этой задачей пришлось потрудиться весьма многим выдающимся умам, от Абрахама де Муавра, открывшего в 1733 году ранний вариант центральной предельной теоремы, до Гаусса, Гальтона, Пойи и нынешних исследователей, которые постоянно продолжают открывать все новые варианты центральной предельной теоремы и применять их к природным и общественным явлениям.

Математики обобщили центральную предельную теорему и в другом направлении. Из-за симметричности доски Гальтона — на каждом уровне каждый шарик с равной вероятностью может отскочить вправо или влево — это математическое устройство трудно использовать в качестве модели в биологии. В мире живых существ действует естественный отбор, содействующий некоторым из генов — тем, которые обеспечивают бо́льшую вероятность выживания, — больше, чем другим. Чтобы ввести в нашу модель естественный отбор, можно, например, сказать, что отскок вправо вносит в выживание больший вклад, чем отскок влево.

Математики исследовали, что происходит при внесении в доску такой асимметрии. Предположим, что на каждом уровне шарик падает на маленький рычажок, который может наклониться влево или вправо, причем все такие рычажки вращаются влево — то есть против часовой стрелки, — как миниатюрные пропеллеры. В результате вероятность отскока шарика влево всегда будет выше, чем вероятность отскока вправо. Если пропеллеры вращаются очень быстро, шарик почти всегда будет отскакивать влево, а если они вращаются медленнее, то и вероятность отскока влево будет меньше.

На такой «небеспристрастной» доске распределение шариков по пазам уже не будет симметричным. Слева их окажется больше. Тем не менее, если доска достаточно высока и широка, распределение шариков снова будет приближаться к гауссову, но его пик окажется смещен на некоторое расстояние влево. Чем быстрее вращаются пропеллеры, тем левее оказывается пик. Центральная предельная теорема продолжает действовать и на доске со смещением.

Математика асимметричной доски демонстрирует еще одно интересное свойство нормального распределения. Гауссиана абсолютно симметрична, но ее симметрия может быть образована асимметричными компонентами. В Тихонии абсолютная асимметрия может порождать — и часто порождает — абсолютную симметрию.

Теперь я хочу забежать вперед и показать вам фрактал — он изображен на илл. 8. Мы будем изучать эти странные объекты в части III. Фрактал этот совершенно не симметричен, но создает стойкое ощущение регулярности. Я поместил здесь его изображение, потому что оно иллюстрирует фундаментальное различие между Тихонией и Диконией. В Тихонии даже полная асимметрия может порождать абсолютную симметрию. В Диконии же даже принцип абсолютной симметрии (которую называют масштабной инвариантностью или самоподобием) может приводить к асимметрии. Фигура, представленная на илл. 8, является результатом действия чрезвычайно глубокого вида регулярности, гораздо более сложного, чем обычная симметрия.

Илл. 8.Фрактал

В предыдущей главе мы видели, что глубокая асимметрия может порождать абсолютно симметричное гауссово распределение. Однако существуют и такие явления, распределениям которых присуща неотъемлемая асимметрия, и с этим ничего не поделаешь. Например, распределение семейных доходов (илл. 9) асимметрично, потому что у него есть жесткий нижний предел — нулевой доход, — а сверху оно не ограничено ничем. Поскольку мы не ожидаем в этом случае абсолютной симметричности распределения Гаусса, мы не считаем, что гауссова кривая должна сколько-нибудь точно описывать распределение доходов. Семейный доход определяется несколькими компонентами, и, следовательно, для доходов должен быть справедлив какой-то вариант центральной предельной теоремы. Но этому предположению, кажется, противоречит не только отсутствие симметрии. Кроме того, правая часть кривой приближается к горизонтальной оси гораздо медленнее, чем распределение Гаусса, но быстрее, чем распределение Коши, — на самом деле эта кривая больше похожа на распределение Коши, чем на гауссиану. Действительно, по двум последним столбцам можно заключить — и вполне справедливо, — что длинный хвост, начинающийся во второй половине распределения, тянется еще очень далеко. Действительно, чрезвычайно высокие доходы существуют и даже встречаются не слишком редко [47] https://en.wikipedia.org/wiki/File: Distribution_of_Annual_Household_Income_in_the_United_States.png . . Значит ли это, что семейный доход — явление диконское?

Хотя этого не видно на первый взгляд, гауссиану все же можно использовать для описания распределения, представленного на илл. 9. Если отложить доходы по логарифмической шкале, так, чтобы расстояние от $1 до $10 по оси x было таким же, как расстояние от $10 до $100 и так далее, то кривая превратится в аккуратное, точное распределение Гаусса. Мы называем такие распределения логарифмически нормальными, или, сокращенно, логнормальными, потому что они выглядят как нормальное распределение, но в логарифмическом масштабе. Хотя действительно крупные доходы существуют, они не принадлежат к миру Диконии, потому что распределение Гаусса по-прежнему весьма хорошо их моделирует. Мы все еще не покинули пределов Тихонии.

Илл. 9.Распределение семейных доходов в США, 2010 г.

(График Йожефа Бенце, на основе данных интернет-сайта Бюро переписи населения США)

При помощи логарифмической шкалы математики сумели получить новую версию центральной предельной теоремы [48] О центральных предельных теоремах см. Adams (2009). . Если некоторая характеристика определяется несколькими слабыми компонентами, причем между этими компонентами нет достаточно сильной взаимозависимости и на одном конце распределения (левом или правом) существует естественная граница, не допускающая возникновения бо́льших или меньших значений, а на другом конце такого предела нет, то распределение этой характеристики по всей генеральной совокупности будет логнормальным.