Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр?

4. Допустим, что Артур принадлежит к типу B. Тогда, действительно, по крайней мере один из братьев относился бы к типу B, а это потребовало бы в качестве правильного ответа «да», что в свою очередь означало бы, что Артур принадлежит к типу A. Таким образом, мы приходим к противоречию, и, следовательно, Артур не может принадлежать к типу B. Стало быть, он относится к типу A. Отсюда следует, что правильным ответом на его вопрос является «да», а это означает, что по крайней мере один из братьев принадлежит к типу B. Так как Артур не принадлежит к типу B, то это должен быть Роберт. Итак, Артур относится к типу A, а Роберт — к типу B.

5. По поводу мистера Гордона нельзя сделать никакого вывода, однако миссис Гордон должна принадлежать к типу B. Основания для такого заключения следующие.

Мистер Гордон относится либо к типу A, либо к типу B. Предположим, что он относится к типу A. Тогда правильным ответом на его вопрос является «да», откуда следует, что супруги принадлежат к разным типам. При этом миссис Гордон должна принадлежать к типу B (поскольку ее муж относится к типу A, а они принадлежат к разным типам). Итак, если мистер Гордон относится к типу A, то его жена должна принадлежать к типу B.

Допустим теперь, что мистер Гордон относится к типу B. Тогда правильным ответом на его вопрос будет «нет»; это означает, что супруги не принадлежат к разным типам, то есть что они относятся к одному и тому же типу. Значит, миссис Гордон тоже относится к типу B. Итак, если мистер Гордон принадлежит к типу B, то и миссис Гордон должна относиться к этому же типу.

Это доказывает, что независимо от того, к какому типу принадлежит мистер Гордон, миссис Гордон обязательно должна принадлежать к типу B.

Другое доказательство — гораздо более простое, но в то же время более изящное — заключается в следующем.

Как мы уже знаем из первой задачи, ни один житель этого острова не может спросить, принадлежит ли он к типу B. Поэтому, если бы миссис Гордон принадлежала к типу A, тогда для островитянина спросить, отличается ли он по типу от миссис Гордон, было бы эквивалентно вопросу, принадлежит ли он к типу B, то есть вопросу, которого он задать не может. Следовательно, миссис Гордон не может принадлежать к типу A.

6. Такая ситуация вполне возможна, но при этом Цорн должен принадлежать к типу B. Самый простой способ убедиться в этом — вспомнить еще раз (см. задачу 1), что ни один житель острова не может спросить, относится ли он к типу B. Поэтому, когда Цорн спрашивает, принадлежит ли он к людям того типа, которые могли бы спросить, относится ли он к типу B, правильным ответом на этот вопрос будет «нет» (так как ни один островитянин не может спросить, относится ли он к типу B). Значит, поскольку правильным ответом является «нет», то, следовательно, Цорн должен принадлежать к типу B.

7. Поскольку островитянин все-таки задал этот вопрос, то, очевидно, он мог его задать. Следовательно, правильным ответом на его вопрос является «да», а сам он относится к типу A.

8. По поводу миссис Клинк нельзя сказать ничего определенного, а ее супруг должен относиться к типу A. Основания для такого вывода следующие. Допустим, что миссис Клинк относится к типу A. Тогда правильным ответом на ее вопрос будет «да», откуда следует, что мистер Клинк мог спросить свою жену, принадлежит ли она к типу A. А поскольку миссис Клинк по предположению принадлежит к типу A, то правильным ответом на этот вопрос будет «да», что позволяет считать мистера Клинка относящимся к типу A. Итак, если миссис Клинк принадлежит к типу A, то ее муж относится к тому же самому типу. Предположим теперь, что миссис Клинк принадлежит к типу B. Тогда правильным ответом на ее вопрос будет «нет», откуда следует, что мистер Клинк не относится к людям того типа, которые могли бы спросить ее, принадлежит ли она к типу A. Поэтому он не мог задать вопрос, правильным ответом на который являлось бы «нет», а значит, должен относиться к типу A. Итак, мистер Клинк относится к типу A, независимо от того, к какому типу принадлежит миссис Клинк.

9. Предположим, что Бетти относится к типу A. Тогда правильным ответом на ее вопрос является «да», и поэтому Джон мог спросить, принадлежит ли по крайней мере один из них к типу B. Но это приводит нас к противоречию: ведь если Джон относится к типу A, то невозможно, чтобы по крайней мере один из супругов принадлежал к типу B. Следовательно. Правильным ответом на его вопрос должно быть «нет», что невозможно для человека, принадлежащего к типу A. Если же Джон относится к типу B, тогда, действительно, по крайней мере один из них принадлежит к типу B, — ведь в этом случае «да» оказывается правильным ответом на его вопрос. Но поскольку ни один человек, относящийся к типу B, не может задать вопрос, правильным ответом на который является «да», то предположение о том, что Бетти принадлежит к типу A, неверно и, значит, она должна относиться к типу B.

Теперь, поскольку Бетти относится к типу B, то правильным ответом на ее вопрос явлется «нет»; отсюда следует, что Джон никак не может спросить ее, принадлежит ли по крайней мере один из них к типу B. Далее, если бы Джон относился к типу A, тогда он в самом деле мог задать такой вопрос, поскольку, действительно, по крайней мере один из них (а именно Бетти) принадлежит к типу B. Но поскольку задать такой вопрос он не может, то, следовательно, он тоже должен относиться к типу B.

Итак, ответ таков: оба супруга принадлежат к типу B.

10. Легче всего строить решение этой задачи поэтапно. Прежде всего докажем следующие два утверждения:

Утверждение 1.Для любого островитянина X, относящегося к типу A, справедливо следующее: никто из жителей острова не может спросить, принадлежат ли он (она) и этот X к разным типам.

Утверждение 2.Для любого островитянина X, относящегося к типу B, справедливо следующее: любой обитатель острова всегда может спросить, принадлежат ли он (она) и этот X к разным типам.

Утверждение 1 фактически доказано при решении задачи 5, когда мы убедились, что если бы миссис Гордон относилась к типу A, то мистер Гордон никак не мог бы спросить, принадлежат ли он и его супруга к одному типу.

Что же касается утверждения 2, то в случае, если X относится к типу B, вопрос, относятся ли некто и житель острова X к разным типам, эквивалентен вопросу, принадлежит ли этот некто к типу A, а такой вопрос, как мы уже выяснили при решении задачи 2, может задать любой островитянин. Таким образом, если X принадлежит к типу B, то любой житель острова может спросить X, относится ли он (она) вместе с X к разным типам.

Обратимся теперь к решению самой задачи. Докажем сначала, что правильным ответом на вопрос Алисы является «нет» и поэтому Алиса должна принадлежать к типу B. Другими словами, докажем, что Бетти никак не может спросить Веронику, относится ли Вероника к такому типу людей, которые могли бы спросить Бетти, принадлежат ли Вероника и Бетти к разным типам.