Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр?

К какому типу принадлежит колдун — к дневному или ночному?

11. Метаголоволомка.Однажды я предложил своему приятелю следующую задачу об этом острове:

— Один островитянин в свое время полагал, будто он принадлежит к дневному типу и бодрствует. Кто он на самом деле?

Приятель подумал немного и затем ответил:

— По-моему, этих сведений явно недостаточно, чтобы сказать что-либо определенное.

Разумеется, мой друг был абсолютно прав! Но потом он спросил меня:

— А сам-то ты знаешь, к какому типу он относился и спал он в тот момент или бодрствовал?

— Ну, конечно, — ответил я. — Как раз я хорошо знаком с этим островитянином и прекрасно знаю, к какому типу он принадлежит и в каком состоянии он в то время находился.

Тогда мой приятель задал мне весьма хитроумный вопрос:

— А скажи, если бы ты мне сообщил, к какому типу он принадлежит, было бы у меня достаточно информации, чтобы узнать, спал он или бодрствовал в тот момент?

Я сказал ему правду (то есть ответил «да» или «нет»), и он тут же сумел решить задачу.

К какому типу относился островитянин и спал он в то время или бодрствовал?

12. Более сложная метаголоволомка.В другой раз я предложил приятелю следующую задачу, связанную с этим островом:

— Одна жительница острова в какой-то момент сочла, будто она принадлежит к ночному типу и спит. Что было с ней на самом деле?

Мой друг тотчас же сообразил, что этих сведений опять недостаточно.

— Предположим, ты сообщил бы мне, к какому типу относилась эта женщина, — сказал мне приятель. — Сумел бы я тогда ответить, спала она в тот момент или бодрствовала?

Я сказал ему правду, но он все равно не смог решить задачу (и этой информации оказалось недостаточно).

Спустя несколько дней я задал эту задачу другому приятелю (не упоминая о своем первом опыте). Этот приятель также понял, что я сообщил ему слишком мало. Тогда он задал мне следующий вопрос:

— Допустим, ты сказал бы мне, спала островитянка в тот момент или бодрствовала. Хватило бы мне информации, чтобы выяснить, к какому типу она принадлежит?

Я снова ответил правду, однако приятель и тут оказался не в состоянии решить задачу (у него тоже не было достаточно информации).

Но зато теперь у вас, читатель, имеется вполне достаточно сведений, чтобы получить ответ! Итак, к какому типу относилась обитательница острова и спала она в то время или бодрствовала?

Предположим, что остров, описанный в этой главе, существовал бы в действительности, а я был бы одним из его обитателей. К какому типу относился бы тогда я — к дневному или ночному? На этот вопрос заведомо можно ответить, основываясь на сказанном мною в данной главе!

1, 2, 3.Прежде всего заметим, что на острове должны выполняться следующие правила:

Правило 1.Во время бодрствования любой житель острова считает, что он принадлежит к дневному типу.

Правило 2.Во время сна любой островитянин полагает, что он принадлежит к ночному типу.

Правило 3.Жители дневного типа всегда уверены, что они бодрствуют.

Правило 4.Жители ночного типа всегда уверены, что они спят.

Для доказательства правила 1 предположим, что X — житель острова, который в данный момент не спит. Если X принадлежит к дневному типу, тогда он одновременно принадлежит к дневному типу и бодрствует; значит, его суждения в этот момент правильны, и он знает, что относится к дневному типу. С другой стороны, предположим, что X принадлежит к ночному типу. Тогда, поскольку он относится к ночному типу и в данный момент бодрствует, его суждения неверны; поэтому он ошибочно полагает, будто он относится к дневному типу. Итак, суммируя, имеем: когда X бодрствует, то если он принадлежит к дневному типу, он (правильно) считает, что относится к дневному типу; если же он относится к ночному типу, то он (ошибочно) полагает, будто также принадлежит к дневному типу.

Правило 2 доказывается аналогично: когда X спит, то если этот островитянин принадлежит к ночному типу, он (правильно) считает, что он относится к ночному типу, а если он принадлежит к дневному типу, то он (ошибочно) полагает, будто также относится к ночному типу.

Для доказательства правила 3 предположим, что обитатель острова X принадлежит к дневному типу. Пока он не спит, его суждения правильны и, следовательно, он твердо убежден, что бодрствует. Но во время сна его суждения неверны, и, следовательно, тогда он ошибочно полагает, будто он бодрствует. Итак, во время бодрствования он (правильно) считает, что бодрствует, а во время сна он (ошибочно) полагает, будто также бодрствует.

Правило 4 доказывается аналогично правилу 3, и мы предоставляем это сделать самому читателю.

Обращаясь теперь к решению задачи 1, заметим, что в данном случае невозможно определить, правильно ли суждение островитянина. Однако ясно, что в указанный момент он должен был бодрствовать, поскольку если бы островитянин спал, то он был бы убежден, что принадлежит не к дневному, а к ночному типу (согласно правилу 2).

Что касается задачи 2, то здесь также нельзя определить, было ли суждение островитянина верным, однако ясно, что он должен принадлежать к ночному типу, поскольку если бы это было не так, то данный житель острова был бы уверен, что он бодрствует, а не спит (согласно правилу 3).

В отношении же задачи 3 ответом па вопрос «а» является «нет» (потому что в соответствии с правилами 1 и 2 мнение островитянина но поводу того, принадлежит он к дневному или ночному типу, изменяется в зависимости от его состояния (то есть, от того, бодрствует он или же спит), а ответом на вопрос «б» является «да» (в соответствии с правилами 3 и 4).

4. Вы можете решать эту задачу последовательно, рассматривая по очереди каждый из следующих четырех вариантов: 1) островитянка относится к ночному типу и спит, 2) она принадлежит к ночному типу и бодрствует, 3) она относится к дневному типу и спит, 4) она принадлежит к дневному типу и бодрствует.

Можно выяснить, какой же из вариантов не противоречит условиям задачи. Тем не менее я предпочел бы следующее доказательство.

Прежде всего, могут ли убеждения обитательницы острова оказаться ошибочными? Если это так, то она не может ни находиться во сне, ни принадлежать к ночному типу, откуда следует, что она бодрствует и относится к дневному типу. Но такое утверждение приводит нас к противоречию, поскольку человек, который бодрствует и относится к дневному типу, никак не может обладать неверными убеждениями. Таким образом, ее убеждения не могут оказаться ошибочными, а значит, они должны быть верными. Следовательно, данная жительница острова принадлежит к ночному типу и спит.