Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр?

— Не трать понапрасну силы, такое число просто не может существовать.

Как Крейг догадался об этом?

1. Таким числом является, например, число 323. В самом деле, поскольку число 23 порождает число 3 (согласно правилу 1), то, согласно правилу 2, число 323 должно порождать ассоциат числа 3, а это и есть 323 — как раз то же самое число!

Существуют ли другие такие числа?

По поводу ответа Крейга на этот вопрос смотри решение задачи 4.

2. Числом, которое нашел Крейг, было 33233. Действительно, любое число вида 332 X порождает двойной ассоциат X; так, число 33233 порождает двойной ассоциат числа 33 — то есть ассоциат ассоциата числа 33. Далее, ассоциат числа 33 есть исходное число 11233, и, следовательно, двойной ассоциат числа 33 есть ассоциат числа 33233. Итак, число 33233 порождают ассоциат числа 33233, или свой собственный ассоциат.

Как же было найдено это число, и является ли полученное решение единственным? Крейг дает ответы на эти вопросы при решении следующей задачи.

3. Здесь рассказывается о том, как Крейг отыскал решение задачи 2, а также о том, как он сумел ответить на вопрос, существуют ли какие-либо другие решения этой задачи. Тут я предоставлю слово ему самому:

«Моя задача заключалась в том, чтобы найти число N , которое порождает число N 2 N. Ясно, что это число должно иметь вид 2 X , 32 X , 332 X , 3332 X и т. д., причем мне нужно было отыскать X. Подошло бы в данном случае число вида 2 X ? Совершенно очевидно, что нет, поскольку число 2 X порождает число X, которое, понятно, является более коротким (содержит меньше цифр), чем ассоциат числа 2 X . Поэтому ни одно число вида 2 X никак не могло оказаться подходящим.

Что можно сказать по поводу числа вида 32 X ? Оно также порождает ассоциат числа X, который, очевидно, содержит меньшее число цифр, нежели ассоциат числа 32 X .

Теперь попробуем число вида 332 X . Это число порождает двойной ассоциат числа X, который имеет вид Х2 X 2 X 2 X , тогда как нам необходимо получить ассоциат числа 332 X , то есть число, которое записывается в форме 332 X 2332 X . Далее, может ли число Х2 X 2 X 2 X оказаться тем же самым числом, что и 332 X 2332 X ? Прежде всего, нужно сравнить относительную длину этих чисел. Так, если h — количество цифр в числе X, то число Х2 X 2 X 2 X должно иметь 4 h + 3 цифр (поскольку в нем четыре X и три двойки); в то же время число 332 X 2332 X имеет 2 h +7 цифр. Может ли 4 h + 3 равняться 2 h + 7? Да, но только в том случае, когда h = 2. Итак, что касается длины, то число вида 332 X вполне может оказаться для нас подходящим, но лишь при условии, если количество цифр в X равняется двум.

Существуют ли еще какие-нибудь возможности? Посмотрим, например, что можно сказать по поводу числа вида 332 X . Такое число порождает тройной ассоциат числа X, который представляет собой число вида Х2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X , тогда как нам необходимо получить ассоциат числа 3332 X , который записывается как 3332 X 23332 X . Могут ли эти числа оказаться одинаковыми? Вновь обозначая через h длину числа X, находим, что число Х2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 2 X имеет 8 h + 7 цифр; в то же время число 3332 X 23332 X имеет 2 h + 9 цифр. Равенство 8 h + 7 = 2 h + 9 может выполняться, только если h = 1/3, и, следовательно, в данном случае целочисленного значения не существует. Итак, числа вида 3332 X нам также не подходят.

Наконец, что можно сказать относительно числа вида 33332 X ? С одной стороны, это число порождает четверной ассоциат числа X, который имеет длину 16 h + 15; с другой стороны, сам ассоциат числа X имеет длину 2 h + 11. Ясно, что для любого целого положительного h выражение 16 h + 15 больше, чем 2 h + 11, и, значит, число вида 33332 X порождает нечто слишком для нас большое.

Если мы теперь возьмем число, начинающееся не с 4, а с 5 троек, то несоответствие между длиной числа, которое оно вроде бы должно было порождать, и длиной числа, которое оно порождает на самом деле, окажется еще больше, а если мы возьмем число, начинающееся с 6 или более троек, то это несоответствие станет совсем большим. Таким образом, нам остается снова вернуться к числу 332 X как к единственно возможному решению задачи, причем X в этом случае должен быть числом, состоящим из 2 цифр. Итак, искомое число N должно иметь вид 332 ab , где а и b — одиночные цифры, подлежащие определению.

Ясно, что число 332 ab порождает двойной ассоциат числа ab, или число аb 2 аb 2 аb 2 аb. При этом необходимо, чтобы число 332 ab порождало ассоциат числа 332 аb, который записывается как 332 ab 2332 ab. Могут ли эти два числа оказаться одинаковыми? Для ответа на этот вопрос попробуем сравнить их на соответствие цифр:

аb 2 аb 2 аb 2 аb

332 аb 2332 аb.

Сравнивая первые цифры каждого числа, мы видим, что а обязательно должно быть тройкой. Сравнение вторых цифр дает нам, что b также должно оказаться двойкой. Итак, число N = 33233 является решением нашей задачи и притом единственным».

4. — По правде говоря, — признался Крейг, — первую задачу я решал почти интуитивно; чтобы найти число 323, я не пользовался никаким специальным методом. К тому же я пока не успел обдумать вопрос, существует ли какое-либо иное число, которое порождало бы само себя.

— Однако, как мне кажется, ответы на эти вопросы не потребуют слишком много усилий. В самом деле, попробуем, к примеру, выяснить, не могло бы нам подойти какое-нибудь число вида 332 X . Такое число должно было бы порождать двойной ассоциат числа X, который представляет собой число вида Х2 X 2 X 2 X и имеет длину 4 h + 3, где h — длина числа X. С другой стороны, нам необходимо взять такое число, чтобы оно порождало число 332 X , которое в свою очередь имеет длину h + 3? Вполне очевидно, что при любых положительных h величина 4 h + 3 всегда больше, чем h + З, и потому число 332 X будет порождать число, в котором окажется слишком много цифр. То же самое можно сказать, по поводу числа вида 3332 X , а также чисел, начинающихся с четырех и более троек, для них соответствующие расхождения по длине окажутся еще большими. Значит, единственной возможностью для нас остается число вида 32 X (очевидно, что число вида 2 X нам также не годится, поскольку оно не может порождать само себя — ведь оно порождает число X ). Далее, число 32 X порождает число X 2 X , и, кроме того, требуется, чтобы оно порождало само себя, то есть опять 32 X . Поэтому числа 32 X и Х2 X должны совпадать. Обозначим через h длину числа X, тогда число 32 X имеет длину h + 2, а число X 2 X — длину 2 h + 1. При этом должно выполняться условие 2 h + 1 = h + 2, откуда сразу следует, что h равно 1. Стало быть, число X состоит из одной-единственной цифры. Наконец, для какой цифры а имеет место условие a 2 a = 32 a ? Ясно, что а в этом случае должно быть тройкой. Итак, число 323 является единственным решением данной задачи.