Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр?

5. Возьмем в качестве N число 3273. Это число порождает ассоциат числа 73, то есть число 73273, которое в свою очередь можно представить как 7 N. Итак, число 73273 есть решение нашей задачи. (Кроме того, это решение — единственное, что легко можно показать с помощью сравнительного анализа соответствующих длин, подробно обсуждавшегося в последних двух задачах.)

6. Поскольку число 323 порождает само себя, то число 3323 должно порождать ассоциат числа 323. Итак, если положить N = 323, тогда число 3 N действительно порождает ассоциат числи N. (Это решение является единственным.)

7. Решением будет число 332333. Проверка: положим N равным этому числу. Тогда оно порождает двойной ассоциат числа 333, который в свою очередь является ассоциатом числа 3332333 — или, иными словами, ассоциатом числа 3 N.

8. Очевидно, что эта задача представляет собой прямое обобщение задачи 5. Там мы видели, что при N = 3273 число N порождает число 7 N. Цифра 7 не играет в данном случае никакой особой роли. Действительно, для любого числа А справедливо условие: если мы положим Y = 32 A 3, то число Y будет порождать число AY (поскольку оно порождает ассоциат числа A 3, который записывается как A 32 A 3 и который в свою очередь представляет собой число АY ). Итак, например, если мы хотим найти число Y, которое порождало бы число 837 Y, то мы должны выбрать Y равным 328373.

Указанный факт, как выяснится ниже, имеет важное теоретическое значение!

9. Ответом на поставленный вопрос будет «да». Возьмем в качестве Y число 332 A 33. Это число порождает двойной ассоциат числа А ЗЗ, который в свою очередь является ассоциатом числа A 332 A 33. Но число A 332 A 33 и есть АY; следовательно, число Y порождает ассоциат числа АY.

Для частного примера, предложенного Мак-Каллохом (найти число Y, которое порождало бы ассоциат числа 56 Y ), решением будет число Y = 3325633.

10. Решением является число 3332333. Оно порождает тройной ассоциат числа 333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа 333. При этом ассоциат числа 333 есть число 3332333, и, стало быть, число 3332333 порождает двойной ассоциат числа 3332333.

Заметим общую систему: число 323 порождает само себя, число 33233 порождает свой ассоциат, число 332333 порождает двойной ассоциат самого себя. Далее, число 333323333 порождает свой тройной ассоциат, число 33333233333 порождает четверной ассоциат самого себя и т. д. (Во всем этом читатель вполне может убедиться сам.)

11. Решением является X = 3332333. Это число порождает тройной ассоциат числа A 333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа A 333. При этом ассоциатом числа А 333 оказывается число А 3332 А ЗЗЗ, которое в свою очередь и есть АХ. Итак, число X порождает двойной ассоциат числа АХ.

В частном случае, когда А = 78, решением будет число 333278333.

12. Очевидно, что ответом будет N = 23. (Ведь мы уже знаем, что число 323 порождает само себя, поэтому, положив N = 23, мы действительно имеем, что число 3 N порождает число 3 N. )

13. Ответ: N = 22.

14. Ответ: N = 232.

15. Конечно, N = 2.

16. В этом случае вполне подойдет любая цепочка двоек.

17. Да; например, N = 32.

18. Положить N = 33.

19. Положить N = 32323.

20. Как читатель легко может удостовериться сам, любое число, начинающееся с двух или более троек, будет порождать число большей длины, нежели число N 2. (Например, если N — число вида 332 X , и h — длина числа X, то само число N будет порождать двойной ассоциат числа X, который имеет длину 4 h + 3, в то время как само число N 2 имеет длину h + 4). Точно так же нам никак не подойдет ни одно число N вида 2 X , поскольку если и существует некое число N , которое порождает число N 2, то оно обязательно должно быть вида 32 X . Далее, число 32 X порождает число Х2 X , тогда как нам требуется получить число 32 X 2. Если X 2 X представляет собой то же самое число, что и 32 X 2, то, обозначая, как обычно, через h длину числа X, мы должны прийти к условию 2 h + 1 = h + 3, откуда следует, что h = 2. Итак, единственным числом, которое могло бы нас устроить (если, конечно, таковые существуют), должно быть число вида 32 аb, где а и b — одиночные цифры, подлежащие определению ниже. Далее, число 32 ab порождает число аb 2 ab, тогда как нам нужно получить число 32 аb 2. Итак, могут ли числа ab 2 ab и 32 аb 2 оказаться одним и тем же числом? Попробуем сравнить их цифру за цифрой:

ab 2 ab

32 ab 2.

Сравнивая первые цифры, мы получаем, что а = 3; из сравнения же третьих цифр имеем, что а = 2. Полученное противоречие доказывает, что наша задача неразрешима. Итак, не существует такого числа N , которое порождало бы число N 2!

Спустя две недели Крейг снова навестил Мак-Каллоха.

— Слыхал, что ты построил новый вариант своей машины, — сказал Крейг. — Наши общие друзья рассказывали мне, будто твоя новая машина способна проделывать какие-то удивительные вещи. Это правда?

— Совершенно верно, — ответил Мак-Каллох не без гордости. — Моя новая машина, как и раньше, работает в соответствии с правилами 1 и 2, и, кроме того, в нее введены два новых правила. Однако я только что заварил свежего чая — давай выпьем по чашечке, прежде чем я познакомлю тебя с новыми правилами.

После отличного чая с восхитительными сдобными булочками Мак-Каллох приступил к делу:

— Под обращением некоторого числа я понимаю число, цифры которого записаны в обратном порядке; например, обращение числа 5934 есть число 4395. Вот первое из моих новых правил.

Правило 3.Для любых чисел X и Y справедливо следующее: если число X порождает число Y, то число 4 X порождает обращение числа Y.

— Позволь мне проиллюстрировать это правило таким примером, — продолжал Мак-Каллох. — Выбери какое-нибудь произвольное число Y.

— Согласен, — сказал Крейг. — Допустим, я выбрал число 7695.

— Прекрасно. А теперь возьмем число X, которое порождает число 7695, а именно число 27695, потом введем в машину число 427695 и посмотрим, что получится. Мак-Каллох ввел в машину число 427695, а та выдала, разумеется, 5967 — обращение 7695.

— Прежде чем познакомить тебя со следующим правилом, — сказал Мак-Каллох, — я хочу продемонстрировать еще несколько операций, которые моя машина может проделывать с помощью правила 3, конечно, в совокупности с правилами 1 и 2.