Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр?

После того как Крейг и Мак-Каллох решили и эту задачу, Фергюссон сказал:

— Конечно, тут тоже возможны самые разные варианты этого «тройного» закона. Например, если заданы три любых операционных числа M, N и P, а также три произвольных числа А, В и С, то существуют такие числа X, Y и Z, при которых число X порождает M(AY), число Y порождает N(BZ), а число Z порождает P(СХ). Это справедливо и в том случае, если взять не три числа А, В, С, а любые два из них или даже одно. [5] Что соответствует случаю, когда одно или два числа из тройки А, В, С мы полагаем равными единице. Так, мы можем найти такие числа X, Y и Z, при которых X порождает АY, Y порождает M(Z), a Z порождает N(BX). Возможны, естественно, и всякие другие варианты — вы вполне можете заняться ими на досуге.

— Кроме того, — продолжал он, — та же идея действует и тогда, когда мы используем 4 операционных числа или даже более. Например, мы можем найти числа X, Y, Z и W, при которых число X порождает 78 Y, число Y порождает повторение Z, число Z порождает обращение W, а число W порождает ассоциат 62 X . Возможности практически бесконечны, причем их удивительное многообразие обусловлено всего лишь правилами 1 и 2.

1. Одно из решений состоит в том, чтобы принять X = 4325243 и Y = 524325243. Поскольку число 25243 порождает число 5243, то число 325243 порождает ассоциат 5243, или число 524325243, которое и есть Y.

Далее, так как число 325243 порождает Y, то число 4325243 порождает обращение Y, но 4325243 — это как раз и есть X. Таким образом, X порождает обращение Y. Кроме того. Y, очевидно, порождает повторение X (потому что Y — это есть число 52 X , а поскольку число 2 X порождает X, то число 52 X будет порождать повторение X ). Итак, X порождает обращение Y, а Y порождает повторение X.

2. Крейг воспользовался законом Мак-Каллоха, а именно: для любого числа А существует некоторое число X (а именно число 32 A 3), которое порождает число АХ. Так, в частности, если мы примем А за число 2, то получим некоторое число X (а именно число 3223), которое порождает 2 X . Число же 2 X в свою очередь будет порождать X. Таким образом, в качестве решения этой задачи подходит пара чисел 3223 и 23223: 3223 порождает 23223, а 23223 порождает 3223.

3. Крейг решил эту задачу следующим способом. Он рассудил, что ему надо всего лишь найти такое число X, которое порождает 27 X . Тогда, положив Y = 27 X , мы получим, что число X порождает Y, а число Y порождает 7 X . Такое число X он тоже нашел — это число 32273. Поэтому решение Крейга имеет вид: X = 32273, Y = 2732273.

То же самое происходит, конечно, и в том случае, если вместо конкретного числа 7 мы возьмем любое число А. В самом деле, если X = 322АЗ, а Y = 2 A 322АЗ, то число X будет порождать Y, а число Y будет порождать АХ.

4. Что же касается Мак-Каллоха, то он подошел к решению данной задачи несколько иначе. Он начал с того, что стал искать такое число Y, которое порождает 72 Y. Теперь, если обозначить через X число 2 Y, то мы получаем, что число X порождает Y, а число Y порождает 7 X . При этом нам уже известно, как найти такое число Y — надо взять Y = 32723. Итак, решение Мак-Каллоха имеет вид: X = 232723, Y = 32723.

5. Единственное, что нам нужно — это найти такое число X, которое порождало бы число А 2 ВХ. Тогда, если мы положим Y = 2 ВХ, то будем иметь, что число X порождает А Y, а число Y порождает BX . Таким числом X, которое порождает А 2 ВХ, является число 32 А 2 В З. Стало быть, решение задачи выглядит так: X = 32 A 2ВЗ, Y = 2 B 32 A 2ВЗ. (В частном случае А = 7, В = 8 и решением будет X = 327283, Y = 28327283.)

6. Сначала попробуем решить эту задачу с помощью второго принципа Крейга, который, как мы помним, гласит, что для любого операционного числа M и для произвольного числа А существует некоторое число X (а именно число М 32 АМ З), которое порождает М(АХ). Возьмем теперь два любых операционных числа M и N. Тогда, согласно этому принципу (если взять в качестве А число N 2), найдется некое число X (а именно число M 32 N 2 M 3), которое порождает число M ( N 2 X ). Ясно также, что число N 2 X порождает N(X) . Поэтому если обозначить число N 2 X через Y, то мы получим, что число X порождает М(Y), а число Y порождает N(X) . Следовательно, решение задачи имеет вид: X = M 32 N 2 M 3, Y = N 2 M 32 N 2 M 3. (Для конкретной задачи, предложенной Фергюссоном, положим M = 4 и N = 3, тогда решение будет таким: X = 4323243, Y = 324323243, читатель сам может убедиться в том, что X порождает обращение Y, а Y порождает ассоциат X; последняя часть этого утверждения особенно очевидна.)

Можно подойти к решению этой задачи и по-другому. Из решения задачи 5 мы знаем, что существуют числа Z и W, при которых Z порождает NW, a W порождает MZ (а именно числа Z = 32 N 2 M 3 и W = 2 M 32 N 2 M 3). Тогда, согласно утверждению 1 из предыдущей главы, число MZ порождает M(NW), a число NW порождает N(MZ). Поэтому если мы обозначим MZ через X, a NW через Y, то сразу получим, что число X порождает М(Y), а число Y порождает N(X) . Таким образом, мы получаем то же самое решение: X = M 32 N 2 M 3 и Y = N 2 M 32 N 2 M 3.

7. Здесь нам необходимо найти такое число X, которое порождало бы число М ( AN 2 BX ); согласно второму принципу Крейга, таким числом X является число M 32 AN 2 BM 3. Возьмем N 2 BX в качестве Y; тогда число X порождает М(AY), а число Y (которое есть N 2 BX ), очевидно, порождает N(BX). Итак, общее решение задачи (или, по крайней мере, одно из возможных общих решений) имеет вид: X = M 32 AN 2 BM 3, Y = N 2 BM 32 AN 2 BM 3. Для конкретного частного случая положим M = 5, N = 4, А = 7 и В = 89.

8. Согласно второму принципу Крейга, существует некоторое число X, которое порождает М (2 ВХ ), а именно X = М 322 ВМ З. Положим теперь Y = 2 ВХ. Тогда X порождает М(Y), а Y порождает BX . Для конкретного частного случая примем M = 3 и В = 78; при этом решение будет иметь вид: X = 33227833, Y = 27833227833.