Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

В тюрьмеему стала известна судьба его научного труда. Пуассон даже не рассмотрел его из-за недостаточной ясности изложения. Галуа попытался наложить на себя руки, но его остановили соседи по камере. Его ненависть к любым официальным лицам стала неукротимой, налицо явные признаки паранойи. Однако из-за эпидемии холеры всех заключенных выпустили на свободу.

Отрывок манускрипта, написанного рукой Галуа

В это время Галуа влюбился в некую особу, чье имя долгие годы оставалось тайной. Наконец удалось выяснить, что ее звали Стефани дю Мотель, она была дочерью лечащего врача Галуа. Ничего хорошего из этого не вышло, и Стефани ушла. Один из соратников-революционеров вызвал Галуа на дуэль – вероятно, из-за Стефани. Наиболее приемлемой версией считается история Тони Ротмана: согласно ей, противником Галуа стал Эрнест Дюшатле, сидевший с ним в одной камере. Судя по всему, дуэль оказалась разновидностью русской рулетки, когда участники выбирают из двух пистолетов, из которых заряжен только один, и обмениваются выстрелами у барьера. Галуа выбрал несчастливый пистолет, получил пулю в живот и скончался на следующий день.

Ночью наканунедуэли он написал длинное изложение своих математических идей, в том числе и доказательство невозможности решения в радикалах уравнений пятой степени и выше. В этой работе он развил концепцию группы перестановок и сделал первые важные шаги в исследовании теории групп. Его бумаги едва не затерялись, но всё же попали в руки члена Академии Жозефа Лиувилля. В 1843 г. тот выступил перед членами Академии с сообщением о том, что в бумагах Галуа «я обнаружил решение, точность которого не уступает его глубине, такой замечательной задачи: узнать, существует или не существует решение в радикалах…» [6] Цит. по: Стюарт И. Истина и красота. Всемирная история симметрии. М.: Corpus: Астрель, 2010. С. 175. Прим. науч. ред. . Лиувилль опубликовал бумаги Галуа в 1846 г., сделав их наконец достоянием научного сообщества.

Одним из первых серьезных практических приложений теории групп стала классификация всех возможных кристаллических структур. В кристаллах атомы образуют правильную трехмерную решетку, и главной задачей математики стало выявление всех возможных групп симметрии в ней, потому что это эффективное формирование симметрии кристалла.

В 1891 г. Евграф Федоров и Артур Шенфлис доказали, что существует ровно 230 отдельных кристаллографических пространственных групп. Похожий, но незавершенный список составил и Уильям Барлоу.

Современные методики определения структуры биологических молекул, таких как протеины, основаны на прохождении рентгеновских лучей через их кристаллическую решетку и наблюдении полученной дифракционной картинки. Симметрии кристалла очень важны для определения формы исследуемой молекулы. Так же важен анализ Фурье.

Дополнительным преимуществом идей Галуа стало открытие, что уравнение пятой степени не может быть решено в радикалах, поскольку обладает неправильной симметрией . Группа общего уравнения пятого порядка состоит из всех возможных перестановок для всех его пяти корней. Алгебраическая структура этой группы противоречит решению в радикалах.

Галуа работал и во многих других областях математики, добившись не менее впечатляющих открытий. В частности, он обобщил модульную арифметику и получил то, что мы сейчас называем полями Галуа . Это конечные системы, в которых могут быть определены арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) и для которых применимы все обычные законы. Размер поля Галуа – всегда степень простого числа, и существует только одно такое поле для каждой простой степени.

В чистой форме концепция групп впервые появилась в работе Галуа, хотя и раньше намеки на нее мелькали как в эпических трудах Руффини, так и в элегантных построениях Лагранжа. На протяжении того десятилетия, когда благодаря Лиувиллю идеи Галуа получили широкое распространение, в математике появилась хорошо развитая теория групп. Главным архитектором теории считается Камиль Жордан, чей труд на 667 страницах «Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» был опубликован в 1870 г. Жордан развил всю тему систематически и всеобъемлюще.

Увлечение Жордана теорией групп началось в 1867 г., когда он продемонстрировал ее связь с геометрией явным образом, классифицировав основные виды движения твердого тела в евклидовом пространстве. А главное, он предпринял очень плодотворную попытку объяснить, как эти виды движения могуть быть объединены в группы. Главным его мотиватором стала работа Огюста Браве по кристаллографии, инициировавшего математическое изучение кристаллической симметрии, особенно лежащей в основе атомной решетки. Работа Жордана обобщила труды Браве. Он объявил о своей классификации в 1867 г. и опубликовал детали в 1868–1869 гг.

Технически Жордан работал только с замкнутыми группами, в которых любая конечная последовательность движений внутри группы также является движением в той же группе. Это относится ко всем конечным группам по очевидным причинам, а также к группам, которые подобны всем поворотам окружности вокруг ее центра. Типичным примером незамкнутой группы, не рассмотренной Жорданом, могут служить все повороты окружности вокруг ее центра на углы, кратные рациональному углу 360°/ n . Эта группа существует, но не удовлетворяет свойству конечности (потому что, например, она не может включать в себя повороты на 360 × √2 градуса, поскольку √2 – не рациональное число). Незамкнутые группы движений невероятно разнообразны и практически не подлежат разумной классификации. В отличие от них замкнутые, хотя и с трудом, поддаются описанию.

Основные движения на плоскости – параллельные переносы, вращения, отражения и зеркальные отражения. В трехмерном пространстве мы также отмечаем винтовые движения, как у штопора: объект передвигается вдоль фиксированной оси и одновременно вращается вокруг нее же.

Жордан начал с группы параллельных переносов и перечислил десять видов: все сочетания непрерывных параллельных переносов (на любое расстояние) в некотором направлении и дискретных переносов (с целочисленными кратными) от фиксированного расстояния в прочих направлениях. Также он перечислил главные конечные группы для вращений и отражений: циклическая, диэдральная, тетраэдральная, октаэдральная и икосаэдральная. Он выделил группу O (2) всех вращений и отражений, которая сохраняет фиксированную линию в пространстве – ось , и группу O (3) всех вращений и отражений, которая сохраняет фиксированную точку в пространстве и точку пересечения осей.