Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

– И это поможет нам успешно завершить наше первое совместное дело! – с энтузиазмом добавил он, но его возбуждения надолго не хватило. – Ваша помощь в нем была бесценной, но, к несчастью, состояние финансов в результате всех наших размышлений не улучшится, поскольку это ваше дело.

– Некоторое улучшение все же будет. Я верну себе кинжалы.

– Боюсь, что полиция будет держать их у себя до суда как вещественные доказательства. Но все равно мы можем считать этот успех предвестником наступления других, более прибыльных времен, да, Ватсап?

Кубы трех последовательных чисел 1, 2, 3 равны 1, 8, 27, что в сумме составляет 36, то есть полный квадрат. Какие следующие последовательные кубы дают в сумме полный квадрат?

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Джереми Фаррелл опубликовал [4] Jeremiah Farrell. The Journal of Recreational Linguistics 33 (May 2000) 83–92. несколько поразительных магических квадратов. Вот три примера из этой публикации. В каждой клеточке такого квадрата содержится двухбуквенное английское слово, которое можно найти в любом стандартном словаре. В клетках каждой строки, каждого столбца и каждой из двух главных диагоналей квадратов четвертого и пятого порядков содержатся одни и те же буквы. Каждая строка и столбец представляют собой анаграмму (хотя и не осмысленную) одного и того же словарного слова, написанного под соответствующим квадратом. Кстати говоря, Mousterian (мустьерский) – это разновидность кремневых орудий, которыми пользовались некоторые неандертальцы.

Вам может показаться, что правильным образом организованные слова не имеют отношения к математике. Однако любители головоломок, как правило, уважают и то и другое, а сам я склонен рассматривать игры со словами скорее как задачи по комбинаторике с нерегулярными ограничениями; говоря конкретнее, в качестве ограничения здесь выступает словарь. Но у этих квадратов есть и математические свойства. Если каждую букву заменить подходящим числом, а числа, соответствующие двум буквам в заданной клетке, сложить, то получившийся числовой квадрат тоже окажется магическим. То есть числа в каждой строке, в каждом столбце и (за исключением квадрата 3 × 3) по каждой диагонали в сумме дадут одно и то же число.

Конечно, это свойство выполняется для любого набора чисел, за исключением диагоналей квадрата 3 × 3, потому что каждая буква встречается в каждой строке, каждом столбце и (за исключением квадрата 3 × 3) на каждой диагонали ровно один раз. Однако при правильном выборе в квадратах будут стоять числа от 0 до 8, от 0 до 15 и от 0 до 24 соответственно. В каждом магическом словарном квадрате соответствия между буквами и цифрами будут разными.

Какие числа соответствуют каким буквам? Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

1. Назовите наибольший полный квадрат, в котором каждая цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 встречается ровно один раз.

2. Назовите наименьший полный квадрат, в котором каждая цифра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 встречается ровно один раз.

Ответы см. в главе «Загадки разгаданные».

Джон Непер, восьмой лорд Мерчистона (ныне район Эдинбурга), знаменит тем, что в 1614 г. изобрел логарифмы. Но в его натуре была и темная сторона: он баловался алхимией и некромантией. Многие считали его колдуном, а его «фамильяром», или волшебным спутником, был черный петух.

При помощи этого петуха Непер ловил вороватых слуг. Он запирал слугу, заподозренного в краже, в комнате с петухом и велел ему погладить петуха, говоря, что волшебная птица сможет безошибочно определить виновного. Все обставлялось очень таинственно – но Непер точно знал, что делает. Он заранее покрывал черного петуха тонким слоем сажи. Невиновный слуга готов был, как велено, погладить птицу, и на его руках обязательно оставались следы сажи. Виновный, страшась разоблачения, игнорировал распоряжение хозяина, и его руки оставались чистыми.

Чистые руки служили доказательством вины.

После возвращения ценных церемониальных кинжалов и по мере того, как росла репутация нашего партнерства в решении неразрешимого, постижении непостижимого и распутывании нераспутываемого, ситуация с нашими личными финансами улучшалась с каждым днем. Элита Англии становилась фактически в очередь, стремясь заручиться нашими услугами, и в моих записных книжках можно найти описание многих успехов моего друга: это и загадка пропавшей горы, и история с испарившимся виконтом, и союз лысых. Однако ни один из этих случаев не отражает талантов моего друга в их самой чистой форме и не раскрывает его способности распознавать значимые черты обычных на первый взгляд объектов и событий, на которые большинство людей просто не обратили бы внимания. В этой связи на ум сразу приходит случай с гигантской летучей мышью из Сент-Олбанс, но подробности этого дела слишком сложны и загадочны, чтобы разбирать его здесь.

Любопытные события Рождества 18.. года, однако, прекрасно подходят для моей цели и заслуживают большего интереса. (Я вынужден сохранить точную дату и бо́льшую часть обстоятельств происшедшего в тайне, чтобы не причинять неудобств знаменитой оперной диве-контральто и нескольким министрам Кабинета.)

Я сидел за своим письменным столом, припоминая и записывая подробности последних дел Сомса, а он проводил бесконечную, как мне казалось, серию экспериментов с моим старым армейским револьвером и вазой с хризантемами. И его, и мою деятельность прервала миссис Сопсудс, которая внесла и поставила на стол две картонные коробки разных размеров, перевязанные ленточками.

– Рождественские подарки для вас, мистер Сомс, – объявила она.

Сомс посмотрел на посылки. На упаковке каждой красовались его адрес и какие-то почтовые марки с нечитаемыми штемпелями. По форме коробки были прямоугольными… конечно, технически прямоугольник – двумерная фигура, так что на самом деле они были прямоугольными параллелепипедами. Кубоидами.