Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

– Но 27 фунтов и 2 фунта в сумме не дают 30 фунтов!

– Согласен. Но они и не должны их давать. Суммы сходятся, если их правильно считать.

И Сомс написал:

– Сумма в 30 фунтов, по существу, больше не должна рассматриваться, – сказал Сомс. – В конце концов, это был неправильный счет . В результате мужчины заплатили 27 фунтов, милорд, и нам следует вычесть из этой суммы 2 фунта, чтобы получить те 25, которые они были должны отелю. Вычесть, а не прибавить.

– Но…

– Ваш первоначальный расчет на первый взгляд казался вполне разумным, поскольку числа 29 и 30 так близки между собой. Но представьте, к примеру, что счет на самом деле составлял бы 5 фунтов, и официант получил бы 25 фунтов, которые следовало вернуть клиентам; он оставил бы себе 1 соверен, а гостям раздал по 8 монет. В этом случае приятели заплатили бы по 2 фунта каждый, то есть всего 6 фунтов. Мануэль, как мы уже сказали, оставил себе всего 1 фунт. В сумме эти два числа дают 7 фунтов. После этого вы бы спросили, куда делись остальные 23 фунта. Но ведь сумма настоящего счета была 5 фунтов, и отель получил ее в точности. Как же могут 23 фунта пропасть из кассы отеля? Их получили трое клиентов, уступившие при этом небольшую часть суммы Мануэлю.

Хампшоу-Смэттеринг порозовел:

– Хм, – произнес он. – Вот ведь…

Он взял себя в руки.

– Ваш гонорар, сэр?

– Двадцать девять соверенов, – ответил Сомс не моргнув глазом.

1001

100001

10000001

1000000001

100000000001

100000000000000001

Я спрашивал также, почему так получается. Это более сложный вопрос, потому что здесь нужно думать, а не просто вычислять. Вместо формального доказательства рассмотрим типичный случай: 11 × 909091. Для начала перепишем этот пример в обратном порядке: 909091 × 11. Это равно 909091 × 10 + 909091 × 1; то есть 9090910 + 909091. Сложим числа следующим образом:

Что дальше? Начинаем справа. 0 + 1 = 1, поэтому получаем:

Затем 1 + 9 = 0, один в уме:

Теперь мы должны добавить переносимую единицу к 9 и 0, что опять же даст 0 и 1 в уме. Это ведет нас к каскаду переносов, каждый из которых превращает 9 в 0 и дает 1 в уме, до тех пор пока мы не доходим до:

Наконец, у нас остается только переносимая цифра, и получается ответ:

Дополнительную информацию можно найти в книге: R. Penrose, Railway mazes, in A Life time of Puzzles (eds. E. D. Demaine, M. L. Demaine, T. Rogers), A. K. Peters, Wellesley MA 2008, 133–148.

Фотографии Лаппитской скамьи тысячелетия можно найти на сайте: http://puzzlemuseum.com/luppitt/lmb02.htm

– Десятичная запятая? – пытался найти решение Ватсап. – Нет, вы сказали, что должно получиться целое число.

Он немного помолчал, и вдруг его осенило.

– Вы сказали, что символ необходимо поставить между этими двумя цифрами, мистер Сомс?

– Нет.

– Настаивали ли вы, что эти цифры должны непременно разделяться пробелом?

– Может быть, мой рисунок и выглядит неоднозначно, но я ничего не говорил о пробеле.

– Я так и думал. Удовлетворит ли это вашим условиям? – и Ватсап написал:

√49.

– Что равняется 7.

См. Laurent Bartoldi and André Henriques. Orange peels and Fresnel integrals, Mathematical Intelligencer 34 No. 4 (2012) 1–3.

Статья доступна на сайте: www.arxiv.org/abs/1202.3033

Нет, это неверно. Все утверждения, сделанные по ходу дела, верны, но вывод ошибочен.

Чтобы понять почему, рассмотрим лотерею, которая проводится еженедельно в небольшой известной провинции Лиллипутии. Шаров здесь всего три – 1, 2, 3 – и вынимаются два из них. Вы выигрываете, если заранее правильно называете эти два шара.

Существует три возможных результата розыгрыша:

12 13 23,

и все они равновероятны.

Первым числом является 1 с вероятностью 2/3 (это максимальная вероятность), 2 с вероятностью 1/3 или 3 с вероятностью 0.

Второе число – это 3 с вероятностью 2/3 (максимальная вероятность), 2 с вероятностью 1/3 или 1 с вероятностью 0.

Таким образом, по той же логике игрокам, чтобы максимально увеличить свои шансы, следует выбирать 13. Однако на самом деле все три варианта равновероятны, так что это попросту чепуха.

В общем и целом 1 с большей вероятностью окажется наименьшим числом в розыгрыше, поскольку в этом случае чисел, превышающих заданное число (то есть единицу), больше, чем в любом другом случае. А вовсе не потому, что единица может быть вытащена с большей вероятностью, чем какое бы то ни было другое число. Тот же эффект действует и в отношении других позиций, но не настолько очевидно.

– Глубокое знание лондонского преступного мира позволяет мне сразу же определить, кто злодей, – объявил Сомс.

– Кто?

– Это не имеет значения, пока у нас нет формальных доказательств его вины, Ватсап. Только доказательства способны убедить инспектора Роулейда из лондонской полиции, когда мы представим ему свои выводы. Во-первых, мы должны составить список возможных способов распределения цветов одежды между подозреваемыми.

– Это я могу, – сказал Ватсап. – Я немного владею элементарной комбинаторикой. Она весьма полезна, когда нужно определить, какую конечность ампутировать первой.

И он написал:

КЗБ КБЗ ЗКБ ЗБК БКЗ БЗК

– Буквы обозначают цвета предметов одежды в следующем порядке: пиджак, брюки, носки, – объяснил Ватсап. – Цвета нигде не повторяются, потому что об этом говорят свидетели, так что возможные варианты сводятся к данным перестановкам этих трех букв.

– Очень хорошо, – сказал Сомс. – И каким же должен быть наш следующий шаг?

– Э-э… составить таблицу всех способов распределения предметов одежды между тремя мужчинами. На это потребуется некоторое время, Сомс, поскольку сочетаний существует… э-э, 6 × 5 × 4… 120 штук.