Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр

5. По поводу мистера Гордона нельзя сделать никакого вывода, однако миссис Гордон должна принадлежать к типу В. Основания для такого заключения следующие.

Мистер Гордон относится либо к типу А, либо к типу В. Предположим, что он относится к типу А. Тогда правильным ответом на его вопрос является «да», откуда следует, что супруги принадлежат к разным типам. При этом миссис Гордон должна принадлежать к типу В (поскольку ее муж относится к типу А, а они принадлежат к разным типам). Итак, если мистер Гордон относится к типу А, то его жена должна принадлежать к типу В.

Допустим теперь, что мистер Гордон относится к типу В. Тогда правильным ответом на его вопрос будет «нет»; это означает, что супруги не принадлежат к разным типам, то есть что они относятся к одному и тому же типу. Значит, миссис Гордон тоже относится к типу В. Итак, если мистер Гордон принадлежит к типу В, то и миссис Гордон должна относиться к этому же типу.

Это доказывает, что независимо от того, к какому типу принадлежит мистер Гордон, миссис Гордон обязательно должна принадлежать к типу В.

Другое доказательство — гораздо более простое, но в то же время более изящное — заключается в следующем.

Как мы уже знаем из первой задачи, ни один житель этого острова не может спросить, принадлежит ли он к типу В. Поэтому, если бы миссис Гордон принадлежала к типу А, тогда для островитянина спросить, отличается ли он по типу от миссис Гордон, было бы эквивалентно вопросу, принадлежит ли он к типу В, то есть вопросу, которого он задать не может. Следовательно, миссис Гордон не может принадлежать к типу А.

6. Такая ситуация вполне возможна, но при этом Цорн должен принадлежать к типу В. Самый простой способ убедиться в этом — вспомнить еще раз (см. задачу 1), что ни один житель острова не может спросить, относится ли он к типу В. Поэтому, когда Цорн спрашивает, принадлежит ли он к людям того типа, которые могли бы спросить, относится ли он к типу В, правильным ответом на этот вопрос будет «нет» (так как ни один островитянин не может спросить, относится ли он к типу В). Значит, поскольку правильным ответом является «нет», то, следовательно, Цорн должен принадлежать к типу В.

7. Поскольку островитянин все-таки задал этот вопрос, то, очевидно, он мог его задать. Следовательно, правильным ответом на его вопрос является «да», а сам он относится к типу А.

8. По поводу миссис Клинк нельзя сказать ничего определенного, а ее супруг должен относиться к типу А. Основания для такого вывода следующие. Допустим, что миссис Клинк относится к типу А. Тогда правильным ответом на ее вопрос будет «да», откуда следует, что мистер Клинк мог спросить свою жену, принадлежит ли она к типу А. А поскольку миссис Клинк по предположению принадлежит к типу А, то правильным ответом на этот вопрос будет «да», что позволяет считать мистера Клинка относящимся к типу А. Итак, если миссис Клинк принадлежит к типу А, то ее муж относится к тому же самому типу. Предположим теперь, что миссис Клинк принадлежит к типу В. Тогда правильным ответом на ее вопрос будет «нет», откуда следует, что мистер Клинк не относится к людям того типа, которые могли бы спросить ее, принадлежит ли она к типу А. Поэтому он не мог задать вопрос, правильным ответом на который являлось бы «нет», а значит, должен относиться к типу А. Итак, мистер Клинк относится к типу А, независимо от того, к какому типу принадлежит миссис Клинк.

9. Предположим, что Бетти относится к типу А. Тогда правильным ответом на ее вопрос является «да», и поэтому Джон мог спросить, принадлежит ли по крайней мере один из них к типу В. Но это приводит нас к противоречию: ведь если Джон относится к типу А, то невозможно, чтобы по крайней мере один из супругов принадлежал к типу В. Следовательно. Правильным ответом на его вопрос должно быть «нет», что невозможно для человека, принадлежащего к типу А. Если же Джон относится к типу В, тогда, действительно, по крайней мере один из них принадлежит к типу В, — ведь в этом случае «да» оказывается правильным ответом на его вопрос. Но поскольку ни один человек, относящийся к типу В, не может задать вопрос, правильным ответом на который является «да», то предположение о том, что Бетти принадлежит к типу А, неверно и, значит, она должна относиться к типу В.

Теперь, поскольку Бетти относится к типу В, то правильным ответом на ее вопрос явлется «нет»; отсюда следует, что Джон никак не может спросить ее, принадлежит ли по крайней мере один из них к типу В. Далее, если бы Джон относился к типу А, тогда он в самом деле мог задать такой вопрос, поскольку, действительно, по крайней мере один из них (а именно Бетти) принадлежит к типу В. Но поскольку задать такой вопрос он не может, то, следовательно, он тоже должен относиться к типу В.

Итак, ответ таков: оба супруга принадлежат к типу В.

10. Легче всего строить решение этой задачи поэтапно. Прежде всего докажем следующие два утверждения:

Утверждение 1.

Для любого островитянина X, относящегося к типу А, справедливо следующее: никто из жителей острова не может спросить, принадлежат ли он (она) и этот X к разным типам.

Утверждение 2.

Для любого островитянина X, относящегося к типу В, справедливо следующее: любой обитатель острова всегда может спросить, принадлежат ли он (она) и этот X к разным типам.

Утверждение 1 фактически доказано при решении задачи 5, когда мы убедились, что если бы миссис Гордон относилась к типу А, то мистер Гордон никак не мог бы спросить, принадлежат ли он и его супруга к одному типу.

Что же касается утверждения 2, то в случае, если X относится к типу В, вопрос, относятся ли некто и житель острова X к разным типам, эквивалентен вопросу, принадлежит ли этот некто к типу А, а такой вопрос, как мы уже выяснили при решении задачи 2, может задать любой островитянин. Таким образом, если X принадлежит к типу В, то любой житель острова может спросить X, относится ли он (она) вместе с X к разным типам.

Обратимся теперь к решению самой задачи. Докажем сначала, что правильным ответом на вопрос Алисы является «нет» и поэтому Алиса должна принадлежать к типу В. Другими словами, докажем, что Бетти никак не может спросить Веронику, относится ли Вероника к такому типу людей, которые могли бы спросить Бетти, принадлежат ли Вероника и Бетти к разным типам.

Предположим, что Бетти задает Веронике вопрос, может ли Вероника спросить, относятся ли Вероника и Бетти к разным типам. Тогда мы приходим к следующему противоречию. Действительно, Бетти может относиться как к типу А, так и к типу В. Допустим, что она относится к типу В. Тогда, согласно утверждению 1, Вероника не может спросить, относятся ли они с Бетти к разным типам. Следовательно, ответом на вопрос Бетти является «нет», а такой ответ невозможен, так как Бетти принадлежит к типу А. С другой стороны, предположим, что Бетти относится к типу В. Тогда, согласно утверждению 2, Вероника вполне могла бы спросить, относятся ли они с Бетти к разным типам; это означает, что правильным ответом на вопрос Бетти должно быть «да», что невозможно, поскольку Бетти принадлежит к типу В.