Рэймонд Смаллиан - Принцесса или тигр

Тем самым доказано, что Бетти никак не может задать Веронике вопрос, о котором Алиса спрашивает

Бетти, могла ли бы она его задать… Поэтому правильным ответом на вопрос Алисы является «нет», и, значит, сама Алиса относится к типу В. Что же касается того, к какому типу относятся Бетти и Вероника, то этого выяснить нельзя.

11. По-моему, это самая занятная задача этой главы. Мы ничего не можем сказать об островитянине, задавшем вопрос Арнольду, но в то же время Арнольд, который и рта не раскрывал (насколько мы это знаем), должен оказаться сумасшедшим. В самом деле, ни один островитянин не мог бы спросить находящегося в здравом уме человека, полагает ли он, что сам островитянин принадлежит к типу В, поскольку вопрос, обращенный к нормальному человеку, считает ли он, что тот или иной факт имеет место, равносилен вопросу, имеет ли этот факт место в действительности. В то же время ни один островитянин не может спросить, принадлежит ли он к типу В. Итак, ни один островитянин, назовем его X, не мог бы спросить находящегося в здравом уме человека, полагает ли он, что сам X относится к типу В.

С другой стороны (а этот факт потребуется нам при решении последующих задач), любой островитянин X мог бы спросить человека, лишившегося рассудка, считает ли тот, что сам X принадлежит к типу В, поскольку спросить об этом безумного равносильно тому, чтобы X спросил, принадлежит ли сам X к типу А, что, как мы уже видели, вполне позволительно для любого островитянина X.

12. По поводу Томаса мы не можем сделать никакого вывода, а островитянин, задавший вопрос, должен принадлежать к типу В. В самом деле, если предположить, что он принадлежит к типу А, то тогда правильным ответом на его вопрос будет «да», откуда следует, что Томас действительно считает, будто островитянин мог бы его спросить, лишился ли он рассудка. Но при этом Томас может оказаться как в здравом уме, так и лишенным рассудка. Предположим, что он находится в здравом уме. Тогда его убеждения правильны, а это в свою очередь означает, что островитянин вполне мог спросить его, лишился ли он рассудка. Однако человек, относящийся к типу А, может задавать только такие вопросы, правильным ответом на которые является «да»; это означало бы, что Томас должен оказаться безумным. Итак, предположение о том, что Томас — нормальный человек, позволяет сделать вывод, что Томас сошел с ума, то есть приводит нас к противоречию. С другой стороны, предположим, что Томас лишился рассудка. Тогда убеждение Томаса в том, что островитянин может его спросить, лишился ли Томас рассудка, ошибочно; следовательно, житель острова никак не может спросить его, лишился ли он рассудка. (В этом случае Томас ответил бы «нет», что невозможно, поскольку по условию островитянин принадлежит к типу А.) Однако если принять, что Томас сошел с ума и что островитянин относится к типу А, то житель острова вполне мог бы, следуя законам острова Вопрошаек, спросить Томаса, лишился ли он рассудка (поскольку правильным ответом на этот вопрос было бы «да»). Итак, предположение о том, что Томас сошел с ума, также приводит нас к противоречию.

Поэтому единственный способ избежать противоречия — это предположить, что островитянин должен относиться не к типу А, а к типу В; в этом случае никаких противоречий не возникает, независимо от того, находится ли Томас в здравом уме или он лишился рассудка.

13. Покажем, что эпизод, о котором рассказал Уильям, никак не мог иметь место в действительности. Поэтому Уильям, который уверен, будто это произошло на самом деле, обязательно должен оказаться безумным.

Итак, пусть подобная история и в самом деле имела место — в этом случае мы сразу приходим к противоречию. Действительно, предположим поначалу, что Томас— нормальный человек. Тогда его утверждения верны, откуда следует, что Хал вполне мог спросить Томаса, считает ли тот, будто Хал принадлежит к типу В. Но в соответствии с решением задачи 11 из этого следует, что Томас лишился рассудка! А это противоречит предположению, что Томас — нормальный человек. С другой стороны, допустим, что Томас сошел с ума. Тогда его утверждения ошибочны, и, следовательно, Хал никак не мог бы спросить Томаса, считает ли он, будто Хал относится к типу В. Но, как мы видели в задаче 11, житель острова вполне может спросить человека, лишившегося рассудка, считает ли он, что сам островитянин принадлежит к типу В. Итак, в этом случае мы вновь приходим к противоречию.

Единственный способ избежать противоречия — это принять, что Томас никогда не задавал такой вопрос ни одному островитянину, а Уильям просто вообразил себе, будто Томас это сделал.

14. Здесь могут сработать самые разные вопросы; мне больше всего нравится такой: «Отношусь ли я к людям, которые могут спросить, имеется ли на этом острове волшебник?»

Предположим, что тот, кто спрашивает, принадлежит к типу А. Тогда правильным ответом на его вопрос является «да». Человек, задающий вопрос, вполне может спросить, имеется ли на острове волшебник. Поскольку этот человек принадлежит к типу А, то он может спросить, имеется ли на острове волшебник только в том случае, если на острове в самом деле есть волшебник (с тем, чтобы правильным ответом оказалось бы «да»). Таким образом, если спрашивающий принадлежит к типу А, то на острове непременно должен быть волшебник.

Предположим теперь, что тот, кто спрашивает, относится к типу В. Тогда правильным ответом на его вопрос будет «нет», а это означает, что он не может спросить, имеется ли на острове волшебник. Далее, если бы на острове волшебника не было, то человек, задавший подобный вопрос (так как он принадлежит к типу В), вполне мог бы спросить, имеется ли на острове волшебник (поскольку правильным ответом в таком случае являлось бы «нет»). Однако поскольку островитянин не может (как мы убедились) задать этот вопрос, то отсюда следует, что на острове действительно должен быть волшебник. Тем самым доказано, что если человек, задающий вопрос, принадлежит к типу В, то на острове имеется волшебник. Итак, независимо от того, принадлежит спрашивающий к типу А или к типу В, на острове обязательно должен оказаться волшебник.

15. Конечно же, нет!

16. Единственный вывод, который можно сделать, — это то, что Бернард Грин не является волшебником (на основании тех же рассуждений, что и при решении задачи 14).

17. Единственный вывод, который можно сделать, — это то, что волшебник принадлежит к людям, которые могли бы спросить, волшебник ли Чарлз Мэнсфилд.

(Напомним, что, как мы выяснили при решении задачи 11, в случае, если островитянин спрашивает: «Принадлежу ли я к людям, которые могли бы спросить, имеет ли место какое-либо утверждение?», то это утверждение обязательно должно оказаться истиной.)