Жюль Пуанкаре - Теорема века. Мир с точки зрения математики

Второй пример, на котором мы остановимся, будет в большой мере аналогичен первому; мы заимствуем его из метеорологии. Почему метеорологам так трудно предсказать погоду сколько-нибудь достоверно? Почему выпадение дождя, наступление грозы всегда представляется нам делом случая, так что многие люди находят естественным молиться о ниспослании дождя или хорошей погоды, те самые люди, которые считали бы смешным испрашивать молитвой затмение. Мы видим, что большие пертурбации бывают обыкновенно в тех местах, где атмосфера находится в состоянии неустойчивого равновесия. Метеорологи часто хорошо видят, что равновесие неустойчиво, что образуется циклон, но где именно, они не в состоянии сказать. Лишняя десятая градуса в какой-либо точке – и циклон разражается здесь, а не там; он бушует над странами, которые были бы пощажены, если бы не эта десятая. Если бы мы могли знать эту десятую градуса, то мы могли бы это предсказать; но сеть наблюдений недостаточно густа и сами наблюдения недостаточно точны, а именно поэтому нам и кажется, что все обусловлено случаем. Здесь мы вновь находим то же несоответствие между мельчайшей, не ощутимой наблюдателем причиной и значительным эффектом, вызывающим иногда страшные последствия.

Перейдем к другому примеру – к распределению малых планет по зодиаку. Их начальные долготы могли быть какие угодно, но их средние движения были различны, и они двигались уже так долго, что в настоящее время можно спокойно сказать, что они распределены вдоль зодиака совершенно случайно. Незначительные разности в их начальных расстояниях от Солнца и, что сводится к тому же, в их среднем движении в конце концов дали огромное различие в долготах, которые они теперь имеют. В самом деле, разница в одну тысячную долю секунды их суточного пути дает уже секунду за три года, градус – приблизительно за 10 000 лет и целую окружность – за три-четыре миллиона лет; но что это составляет по сравнению со временем, которое протекло с тех пор, как малые планеты отделились от туманности Лапласа! Перед нами опять ничтожная причина и большой эффект или, иначе, небольшие разности в причине и большие – в действии.

Игра в рулетку отличается от этого примера меньше, чем это может казаться на первый взгляд. Представим себе иглу, которая вращается на шпиле в центре циферблата, разделенного на сто секторов, попеременно красных и черных. Если игла останавливается на красном секторе, то игра выиграна, в противном случае – проиграна. Все, очевидно, зависит от толчка, который мы первоначально сообщаем игле. Игла сделает, скажем, 10 или 20 оборотов, но остановится она раньше или позже, смотря по тому, толкнул ли я ее сильнее или слабее. Однако достаточно, чтобы толчок изменился на тысячную или на две тысячных доли, и игла остановится на черном или соответственно на следующем красном секторе. Это – различия, которые не могут быть восприняты мускульным чувством, которые ускользают даже и от более тонких инструментов. Я лишен, следовательно, возможности предвидеть, что произойдет с иглой, которую я только что толкнул, а потому мое сердце бьется, и я с нетерпением ожидаю, что мне даст случай. Разность в причине совершенно неощутима, разность в результате имеет для меня чрезвычайно большую важность, потому что речь идет о всей моей ставке.

Позвольте мне теперь сделать отступление, несколько странное для моей темы. Один философ несколько лет тому назад сказал, что будущее определено прошлым, но что прошлое не определено будущим. Иными словами: зная настоящее, мы могли бы сделать заключение относительно будущего, но не относительно прошлого, ибо, сказал бы он, определенная причина всегда должна привести к одному результату, но один и тот же результат может быть вызван множеством различных причин. Ясно, что ни один ученый не подпишется под этим выводом. Законы природы связывают предшествующее с последующим таким образом, что предшествующее определено последующим так же, как последующее предшествующим. Но в чем же может заключаться источник ошибки, допущенной этим философом? Как известно, в силу принципа Карно физические явления необратимы, и мир стремится к полному однообразию. Когда два тела различной температуры находятся в соприкосновении, то более теплое уступает тепло холодному; мы можем, таким образом, предвидеть, что температура сравняется. Но когда температура уже сравняется, и нас спросят о том, что было раньше, что сможем мы ответить? Мы скажем, конечно, что одно тело было более нагрето, а другое менее, но мы не сумеем угадать, какое из них было прежде более теплым.

Между тем в действительности температуры никогда не сделаются совершенно равными. Разность температур стремится к нулю лишь асимптотически, и наступает момент, когда наши термометры уже неспособны ее распознать. Но если бы мы имели термометры в тысячу раз, в сто тысяч раз более чувствительные, то мы убедились бы, что есть еще небольшая разница и что одно из двух тел осталось более теплым, чем другое, и тогда мы могли бы утверждать, что именно это тело было некогда более теплым.

Мы видим здесь, в противоположность предыдущим примерам, большие различия в причинах и ничтожные – в результатах. Фламмарион придумал как-то наблюдателя, который удаляется от Земли со скоростью большей, чем скорость света. Для него время изменило бы знак, история потекла бы вспять, и Ватерлоо предшествовало бы Аустерлицу. Ясно, что для такого рода наблюдателя результаты и причины заменили бы друг друга, неустойчивое равновесие не было бы исключением, вследствие общей необратимости явлений ему казалось бы, что все исходит из какого-то хаоса в неустойчивом равновесии. Вся природа казалась бы ему предоставленной случаю.

Мы обратимся теперь к другим примерам, в которых мы увидим совершенно другие свойства. Начнем с кинетической теории газов. Как должны мы представлять себе сосуд, наполненный газом? Бесчисленные молекулы, несущиеся с большими скоростями, бороздят сосуд во всех направлениях. В любой момент они ударяются о стенки и друг о друга, и эти столкновения происходят в самых разнообразных условиях. Здесь нас больше всего поражает не столько малость причин, сколько их сложность. И все-таки первоначальный элемент находится здесь и играет важную роль. Если бы молекула уклонилась налево или направо от своей траектории на очень малую величину, сравнимую с радиусом действия молекул газа, то она избежала бы толчка или таковой произошел бы при совершенно иных условиях, а это могло бы изменить на 90° или 180° направление скорости после толчка. И это еще не все. Как мы видели, достаточно отклонить молекулу до толчка на бесконечно малое расстояние, чтобы она после толчка отклонилась на конечное расстояние. Поэтому, если бы молекула подверглась двум последовательным столкновениям, то ей достаточно было бы сообщить до первого толчка бесконечно малое уклонение второго порядка, чтобы мы получили после первого столкновения бесконечно малое уклонение первого порядка, а после второго – конечное. Между тем молекула испытывает не только два столкновения, а весьма большое число их в секунду. Поэтому, если первый толчок умножает отклонение на весьма большое число А , то после n столкновений оно будет умножено на Аn . Оно сделается, следовательно, весьма большим не только потому, что А очень велико, т. е. потому, что малые причины производят большие следствия, но и потому, что показатель n велик, т. е. потому, что столкновения весьма многочисленны и причины очень сложны.