Ирина Краева - Математическая стодневка. Сто задач до нового года

Является ли число предстоящего года значением факториала какого-либо натурального числа?

Натуральное число, для которого не существует натурального квадратного корня, иногда называют глухим .

Является ли число предстоящего года глухим?

Дополнительные вопросы

1. Будет ли глухое число квадратным?

2. Если число является квадратным, то может ли оно быть глухим?

3. Какой традиционный термин используют для названия чисел, не являющихся глухими?

Является ли число предстоящего года совершенным?

Натуральное число называется почти совершенным , если оно на 1 меньше суммы всех своих собственных 2 2 Собственными называют все делители натурального числа, отличного от него самого. делителей.

Например, все степени числа 2 являются почти совершенными числами: 4 – 1 = 1 +2; 16 – 1 = 1 +2 +4 +8 и т. д.

Будет ли число предстоящего года почти совершенным?

Натуральное число называется кратно совершенным (или мультисовершенным), если сумма всех его делителей кратна ему самому.

Будет ли число предстоящего года кратно совершенным?

Натуральное число называется неприкасаемым , если оно не равно сумме собственных делителей ни одного другого натурального числа.

Является ли число предстоящего года неприкасаемым?

Число, которое кратно сумме своих цифр, называется числом харшад (в переводе с санcкрита «великая радость»).

Будет ли число предстоящего года числом харшад?

Существует ли натуральное число, сумма цифр которого равна номеру предстоящего года?

Если существует, то будет ли оно единственным?

Если таких чисел несколько, то найдите среди них наименьшее.

Будет ли множество таких чисел бесконечным?

Если множество таких чисел конечно, то найдите наибольшее.

Есть ли натуральные числа, имеющие количество делителей равное числу предстоящего года?

Существует ли натуральное число, произведение цифр которого числу предстоящего года?

Если существует, то будет ли оно единственным?

Если таких чисел несколько, то найдите среди них наименьшее.

Будет ли множество таких чисел бесконечным?

Если множество таких чисел конечно, то найдите наибольшее.

Будет ли число предстоящего года радостным?

Алгоритм, позволяющий установить, является натуральное число радостным или нет, вы найдёте на странице 35.

Амбициозным называют натуральное число, если в результате определённых действий получается совершенное число.

Действия такие:

– складываются все собственные делители числа;

– затем складываются собственные делители полученной суммы.

Процесс повторяется до тех пор, пока не получится совершенное число или станет понятным, что этого не произойдёт.

Будет ли число предстоящего года амбициозным?

Число, меньшее суммы своих собственных делителей, называется избыточным .

Будет ли число предстоящего года числом избыточным?

Дополнительные вопросы

1. Может ли избыточное число быть простым?

2. Будут ли простые числа избыточными?

3. Любое ли составное число будет избыточным?

Число, большее суммы своих собственных делителей, называется недостаточным .

Будет ли число предстоящего года числом недостаточным?

Будет ли число предстоящего года циклическим?

Самовлюблённым называется такое натуральное число, которое равно сумме степеней своих цифр, показатели которых равны количеству цифр данного числа.

Будет ли число предстоящего года самовлюблённым?

Некоторые натуральные числа бывают даже счастливыми 3 3 Алгоритм нахождения счастливых чисел достаточно трудоёмок и в описании громоздок. Поэтому нам пришлось описать его в разделе «Комментарии» на странице 37. .

Будет ли число предстоящего года счастливым?

Странными называют числа, которые меньше суммы своих собственных делителей и не равны никакой частичной сумме этих делителей.

Будет ли число предстоящего года странным?

Дополнительные вопросы

1. Могут ли странные числа быть избыточными?

2. Все ли избыточные числа являются странными?

Будет ли число предстоящего года автоморфным?

Будет ли число предстоящего года триморфным?

Будет ли число предстоящего года праймориалом?

Будет ли число предстоящего года членом последовательности Фибоначчи?

Будет ли число предстоящего года числом трибоначчи?

Будет ли число предстоящего года числом Капрекара?

Будет ли число предстоящего года числом Софи Жермен?

Будет ли число предстоящего года числом Лишрел?

Будет ли число предстоящего года числом Мерсенна?

Будет ли число предстоящего года числом Улама?