Ирина Краева - Квадратные уравнения. Часть 1

Хорошо, что мы не на уроке математики, а то пришлось бы составлять уравнение x 2 = 100…

…Не так давно с нами эксперимент проводили: надо было из множества прямоугольников разнообразной формы выбрать один, который покажется самым приятным на вид. Многочисленные повторения этого опыта показали, что чаще всего люди выбирают те прямоугольники, стороны которого относятся как «золотая пропорция». Золотое (или гармоническое) сечение – это такое деление отрезка, при котором отношение всего отрезка к большей части равно отношению большей части к меньшей 1: x = x : (1 – x ).

Если воспользоваться свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), то можно получить уравнение, чтобы найти длину большей части этого отрезка: x 2 = 1 – x .

…В каком прямоугольном треугольнике стороны выражаются тремя последовательными натуральными числами?

Пусть n длина меньшего катета, тогда второй катет и гипотенуза выражаются как ( n +1) и ( n +2).

По теореме Пифагора все длины увязываем в уравнение:

Пифагорейцы исследовали фигурные числа, в частности, треугольные (их можно изобразить в виде треугольника).

Треугольное число с номером n можно найти как половину произведения n × ( n +1). Для ответа на вопрос, является ли треугольным число 45 и если да, то каков его номер, надо решить уравнение n× ( n +1) = 90…

Задумайте два натуральных числа от 1 до 20. Найдите их сумму и произведение. Сообщите мне. Я отгадаю задуманные вами числа. Вам интересно, как я это сделаю?..

Квадратным называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a , b , c – некоторые заданные действительные числа, причём a ≠ 0, а x принимается за неизвестное.

Числа a , b , c называют так:

a – старшим или первым коэффициентом,

b – вторым,

c – свободным или третьим 1 1 В одной переводной книжке середины двадцатого века мы нашли ещё одно название для коэффициента c – «абсолютный». .

«Нумерация» коэффициентов зависит не от их реального месторасположения, а от того, при какой степени неизвестной они находятся. Например, число 2 будет первым коэффициентом в любом из трёх уравнений:

А вот число 5 в третьем уравнении является свободным коэффициентом, а в первом уравнении – вторым коэффициентом.

То есть первый (старший) коэффициент – это множитель при квадрате неизвестной, второй – при первой степени. Свободный (третий) коэффициент – это слагаемое без неизвестной, то есть «свободный от неизвестной».

Очевидно, что в качестве неизвестного необязательно брать букву x . Более того, привыкнув за школьные годы к этому неизменному обозначению, среднестатистический ученик начинает испытывать затруднения в восприятии (узнавании, интерпретации) квадратных уравнений, встречающихся при решении более сложных математических (физических и других) задач.

Собственно говоря, и коэффициенты квадратного уравнения не всегда могут обозначаться указанными выше буквами. Одним словом, квадратное уравнение имеет вполне определённую структуру, а как обозначаются элементы этой структуры – дело десятое. Человек со сложившимся математическим стилем мышления понимает, что квадратным уравнением будет являться любое равенство, в правой части которого стоит ноль, а в левой – сумма трёх слагаемых, одно из которых является произвольным числом, другое – произведением произвольного числа на первую степень неизвестного и третье – произведением ненулевого числа на вторую степень неизвестного.

Тогда квадратными будут уравнения:

mx 2 + nx + k = 0 (относительно x, m ≠ 0),

xa 2 + ya + z = 0 (относительно a, x ≠ 0).

Уравнение y 2 + xy + x 2 = 0 можно рассматривать как квадратное, но только либо относительно x , либо только относительно y .

Пока же договоримся, что теоретические вопросы будем излагать на привычных обозначениях.

Вернёмся к определению. Давайте выделим внешние, «бросающиеся в глаза», черты квадратного уравнения. Во-первых, наличие знака равенства. Отсутствие его с очевидностью снимает вопрос о правомерности называть объект уравнением.

(Любое ли равенство является уравнением – разговор особый и не в рамках этой книги.)

Во-вторых, левая часть нашего равенства представляет собой алгебраическую сумму трёх слагаемых.

Возникает первый вопрос: обязательно трёх?

Другими словами количество слагаемых – это определяющий признак или нет? Давайте посмотрим.

Значения второго и свободного коэффициентов квадратного уравнения в определении никак не ограничиваются (в отличие от первого). Следовательно, они могут быть равными нулю. Тогда под определение квадратного подходят уравнения вида

ax 2 + bx = 0 ( c = 0, ab ≠ 0),

ax 2 + c = 0 ( b = 0, ac ≠ 0),

ax 2 = 0 ( b = c = 0, a ≠ 0).

Но в левых частях этих уравнениях не три слагаемых!

Тем не менее, это – квадратные уравнения, потому что их можно записать так

ax 2 + bx +0 = 0,

ax 2 + 0 · x + c = 0,

ax 2 +0 · x + 0 = 0.

Так как количество слагаемых левой части уравнений ax 2 + bx = 0, ax 2 + c = 0, ax 2 = 0 визуально меньше, чем может быть, их называют неполными квадратными уравнениями. Тогда как квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, в котором все коэффициенты отличны от нуля, называют полным.