Яков Перельман - Живой учебник геометрии

X/150 000 000 = 1/109

или 109 х = 150 000 000 + x , откуда

x = 150 000 000/109 = около 1 400 000 км.

На практике приходится нередко отыскивать отрезок такой длины, чтобы вместе с тремя данными отрезками могла быть составлена пропорция. Пусть, например, даны три отрезка а, b и с (черт. 199) и требуется отыскать четвертый отрезок х такой длины, чтобы возможна была пропорция:

а: b = с: х.

Задача эта решается так. На прямой линии (черт. 200) откладывают от точки М отрезки а и b . Под произвольным углом к а от точки М проводят прямую, на которой откладывают отрезок с. Концы N и Р отрезков а и с соединяют прямой и через конец Q отрезка b проводят QR параллельно NP. Отрезок MR и есть четвертая пропорциональная х , потому что

а: b = с: х.

Решение подобных задач называется «построением 4-й пропорциональной».

а: b = с: х.

Повторительные вопросы

Что значит: «построить 4-ую пропорциональную»? – Какие вы знаете способы ее построения?

Применения

79. Прямоугольник со сторонами а и h (черт. 201) превратить в равновеликий прямоугольник с основанием b.

Р е ш е н и е. Надо начертить прямоугольник с основанием b и такой высотой х , чтобы bх = ax

Из последнего равенства вытекает пропорция b/a = h/x.

Следовательно, искомая высота х есть 4-я пропорциональная к a, h и b. Построив; ее по указанному раньше способу, мы сможем начертить и искомый прямо угольник.

80. Начертить прямоугольник с высотою b , равновеликий треугольнику с основанием а и высотою h .

Р е ш е н и е сводится к нахождению основания прямоугольника такой длины x , чтобы bх = bx = ah/2 ., т. е.,

чтобы x: a/2 = h: b

Значит, отрезок х есть 4-я пропорциональная к,a/2.h и b

81. Средняя линия трапеции p , высота – q. Построить равновеликий ей прямоугольник со стороною b.

Р е ш е н и е. Прямоугольник легко можно построить, если найдена будет его другая сторона х такой длины, что bx = pq , и следовательно х : р = д : b . Значит, х есть 4-я пропорциональная к р, q и b .

На свойстве подобных треугольников основано устройство так называемого «поперечного масштаба», которым пользуются при черчении планов. Устройство его показано на черт. 202. Пусть расстояние BA соответствует на плане в каком-нибудь определенном масштабе, 1 километру (или 5, 10, 20 километрам) в натуре. Это расстояние разделено на 10.равных частей; на столько же частей разделено» и расстояние KL = АВ; АК перпендикулярно к АВ и к КL ; точки деления АВ и КL соединены между собою наклонными линиями, как показано на чертеже. После сказанного в § 57 понятно, что отрезки параллельных прямых, отсекаемых: углом OLB составляют последовательно (считая от вершины L) 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 и т. д. отрезка ОВ . А так как отрезок ОB сам составляет 0,1 длины АВ , то указанные отрезки составляют 0,01, 0,2, 0,03 и т. д. длины АВ .

Отсюда ясна возможность помощью поперечного масштаба получать весьма малые доли масштабной единицы АВ . Если необходимо, например, раздвинуть ножки циркуля на 2,73 АВ , то помещают одну ножку циркуля на пересечении 2-й поперечной линии масштаба и 3-й (снизу) продольной; другую же – на пересечении той же 3-й продольной линии и 7-й косой: тогда острия циркуля окажутся раздвинутыми на 2,73 АВ . Чтобы раздвинуть их на 36.8 АВ , надо одно острие поместить на пересечении 3-й поперечной и 8-й продольной линии, а другое – на пересечении 8-й продольной и 6-й косой, и т. д.

На черт. 203 изображен поперечный масштаб, дающий возможность откладывать отрезки с точностью до 0,1 миллиметра.

На подобии фигур основано также устройство и употребление прибора, называемого п а н т о г р а ф о м и служащего для перерисовывания фигур в измененном масштабе. Он состоит (черт. 204) из четырех планок АВ, BC, CD и AD , соединенных в форме параллелограмма так, что планки могут свободно вращаться в углах; поперечная планка ЕF располагается параллельно AD и может быть перемещаема по желанию. При употреблении прибора его укрепляют неподвижно в А и обводят перерисовываемый контур штифтом K ; тогда карандаш С вычерчивает тот же контур в увеличенном виде; все размеры получаются в столько раз крупнее, во сколько раз АС больше АК (или АВ больше АЕ ). Если, например, штифт А (черт. 204) переместился в N , т. е. прошел черту KN , то карандаш С переместился в М , т. е. начертил линию СМ ; из подобия треугольников АСМ и AKN (почему они подобны?) имеем, что СМ : KN – АС : АК , или АВ : АЕ . Отсюда следует, что желая увеличить рисунок, например, в 5 раз, мы должны поместить планку EF так, чтобы АВ было в 5 раз больше АЕ.

Нетрудно догадаться, как следует пользоваться пантографом для перерисовывания фигур и в у м е н ь ш е н н о м масштабе.

Предварительное упражнение

В треугольниках АВС и DEF уг. A = уг. D: ВМ и EN – высоты. Укажите все подобные треугольники в этих фигурах.

Между площадями подобных треугольников существует определенное соотношение, которое мы сейчас установим.

Пусть у нас имеются два подобных треугольника I и II (черт. 205). Проведем высоты ВМ = h и EN = l к сходственным сторонам АС = b и DF = e . Площадь треугольника I равна bh , треугольника II – el . Отношение их равно

Значит,

п л о щ а д и п о д о б н ы х т р е у г о л ь н и к о в о т н о с я т с я к а к к в а д р а т ы с х о д с т в е н н ы х с т о р о н.