Яков Перельман - Живой учебник геометрии

Чтобы вписать в круг равносторонний треугольник, можно воспользоваться способом построения правильного шестиугольника: разделив окружность на 6 равных частей соединяют точки: деления через одну.

Длину стороны вписанного, равностороннего треугольника, считая радиус круга известным ( R ), находят, пользуясь теоремой Пифагора. Если (черт. 220) А, В, С ,

D есть четыре вершины правильного вписанного шестиугольника, то AD= а6 = R, BD = а = стороне вписанного равностороннего треугольника; AD= диаметру круга=2Л. Из прямоугольного треугольника ABD (докажите, что уг. В – прямой) имеем

[AD]2= [АВ]2+[BD]2, т. е. [2R]2=R2 + a23,

откуда

Мы знаем, что во всякий треугольник можно вписать круг. Покажем теперь, что можно вписать круг также во всякий

п р а в и л ь н ы й м н о г о у г о л ь н и к.

Пусть имеется правильный многоугольник, часть которого ABCD изображена на черт. 221. Проведем равно-делящие двух соседних углов, напр., В и С, и точку О их пересечения соединим со всеми вершинами многоугольника. Так как уг. С многоугольника равен углу В, (почему?), то равны и их половины: уг. 2 = уг. 3, а следовательно, и сторона ОС = стороне ОВ (почему?). Треугольники OCD и ОВС имеют по две равные стороны [ОС = ОВ, АВ = ВС] и равные углы [уг. 3 = уг. 4]; значит, они равны [СУС], и ОВ = ОС, а уг. 3 = уг. 5. Таким же образом убеждаемся (выполните это), что треугольник ODE– треугольнику OCD и т. д. В результате узнаем, что все треугольники, на которые разбит указанным образом наш многоугольник, равны между собою, а следовательно, равны и их высоты, проведенные из точки О. Так как точка О одинаково удалена от всех сторон многоугольника, то она и есть центр вписанного круга. Подобные рассуждения можно приложить ко всякому правильному многоугольнику, а следовательно, внутри всякого правильного многоугольника можно найти точку, которая служит центром вписанного круга. Другими словами, -

в о в с я к и й п р а в и л ь н ы й м н о г о у г о л ь н и к м о ж н о в п и с а т ь к р у г. Центр круга, вписанного в многоугольник, называется ц е н т р о м э т о г о м н о г о у г о л ь н и к а, а радиус вписанного круга —

а п о ф е м о й м н о г о у г о л ь н и к а.

Сходными рассуждениями можно убедиться, что

о к о л о в с я к о г о п р а в и л ь н о г о м н о г о у г о л ь н и к а м о ж н о о п и с а т ь о к р у ж н о с т ь. Пусть имеется правильный многоугольник, часть которого ABCDE изображена на черт. 222. Проведем через середины М и N двух его соседних сторон перпендикуляры. Точку их пересечения О соединим со всеми вершинами многоугольника. Отрезки ОА, NB и ОС равны (почему?). Отсюда вытекает, что уг. 3 = уг. 4. Так как углы В и С многоугольника равны (почему?), то уг. 3 = уг. 5 и треугольники ОВС и О CD равны (СУС).

Таким же образом доказываем, что треугольник OCD равен треугольнику ODE – и т. д. Мы убеждаемся, что прямые, соединяющие точку О со всеми вершинами многоугольника равны, т. е. очка О есть центр описанного круга.

Совпадают ли центры обеих окружностей – описанной и вписанной? Нетрудно убедиться, что они должны совпадать. Стороны многоугольника служат хордами описанного круга и касательными вписанному. Мы знаем, что перпендикуляры к касательным точке касания должны проходить через центр вписанного круга. А через центр описанного должны проходить перпендикуляры, проведенные через середины хорд. Но как в данном случае те и другие перпендикуляры совпадают, то должны, конечно, совпадать и точки их пересечения, т. е. центр обоих кругов.

Повторительные вопросы к §§ 75–82

Какие прямоугольные фигуры называются вписанными? – Описанными? – Во всякий ли треугольник можно вписать окружность? А описать около него? Как это выполнить? – Как вписать в круг и описать около него квадрат? Правильный шестиугольник? Равносторонний треугольник? Чему равны стороны этих фигур, если считать радиус описанного около них круга известным? – Во всякий ли правильный многоугольник можно вписать круг? А описать около него? Совпадают ли центры обоих кругов? Как называется этот центр? – Как называется радиус круга, вписанного в правильный многоугольник?

Применения

97. Найти диаметр круглого обрубка, предназначенного для того, чтобы вытесать из него шестиугольную шашку для торцовой мостовой. Сторона шашки = 7 см.

Р е ш е н и е. Так как сторона правильного вписанного шестиугольника = радиусу описанного круга, то искомый диаметр круга = 14 см.

98. На черт. 223 изображен контур стропил так наз. мансардной крыши, Он начерчен так: полуокружность разделена на 4 равные части и точки деления соединены прямыми.

Определите длины СЕ u FD, если пролет AB = 10 м.

Р е ш е н и е. Дуга СЕ составляет 1/4 окружности; значит, хорда СЕ равна стороне вписанного квадрата. Так как радиус окружности известен (5 м), то длина СЕ =5 ?2 = 7 м. Стрелка DFопределяется как разность GD– GF= 5 – 3,5 = 1,5 м.

99. В круге радиуса 100 см проведены две хорды, дуги которых 90° и 120°. На сколько сумма их длин отличается от длины полуокружности? Какой отсюда вытекает способ приближенного распрямления окружности?

Р е ш е н и е. Хорда дуги в 90° равна стороне вписанного квадрата = 100? ?2 = 141. Хорда дуги в 120° равна стороне вписанного равностороннего треугольника = 100 ??3 = 173.

Сумма их 141 + 173 = 314. Длина полуокружности радиуса 100 (при ? = 3,14) равна также 314. Значит, сумма этих хорд равна длине полуокружности до 4-й значащей цифры. Выпрямляя окружность, можно отложить на прямой две стороны вписанного квадрата и две стороны вписанного равностороннего треугольника.

100. Вычислить площадь заштрихованных частей фигуры черт. 224, если радиус круга = R.

Р е ш е н и е. Легко видеть, что каждая из трех заштрихованных частей представляет собою два сегмента, отсекаемых стороною правильного вписанного шестиугольника. Все три заштрихованные части равны по площади шести таким сегментам, т. е. разности между площадью круга и площадью вписанного в него правильного шестиугольника. Последняя площадь равна 6-кратной площади равностороннего треугольника со стороною R , т. е.

101. Какую долю площади наружного прямоугольника (черт. 225) составляет его заштрихованный участок.