Яков Перельман - Живой учебник геометрии

Р е ш е н и е. Рассматривая чертеж, можно усмотреть, что заштрихованный участок представляет собою два сегмента, отсекаемые стороною такого вписанного многоугольника, апофема которого ?= радиуса. Обозначив радиус через R , имеем для длины этой стороны a выражение

очевидно, хорда есть сторона вписанного равностороннего треугольника. Площадь равностороннего треугольника со стороною а равна площадь круга радиуса R равна ? R 2; отсюда площадь заштрихованной части

Так как площадь наружного прямоугольника = 2 R 2, то искомое отношение = 0,61.

Пусть у нас имеется правильный многоугольник о n сторонах. Чтобы определить его площадь, соединим его центр со всеми вершинами: многоугольник разделится на n равных треугольников (почему они равны?). Если сторона многоугольника а , а апофема, т. е. высота каждого треугольника – l , то площадь одного треугольника равна ? аl , а всех треугольников в n раз больше:

n?? аl = ? nal .

Это и есть формула для вычисления площади правильного многоугольника. Ее можно несколько видоизменить, если принять во внимание, что na – есть сумма сторон многоугольника, т. е. его периметр P . Поэтому полученную сейчас формулу можно представить в таком виде:

S= ?Pl.

Словесно правило вычисления площади правильного многоугольника можно высказать так:

п л о щ а д ь п р а в и л ь н о г о м н о г о у г о л ь н и к а р а в н а п о л о в и н е п р о и з в е д е н и я е г о п е р и м е т р а н а а п о ф е м у.

Применения

102. Какова должна быть сторона шестиугольной шашки торцовой мостовой, чтобы на 1 кв. метр шло 30 шашек?

Р е ш е н и е. Если искомая сторона шашки x , то площадь

основания = 6 x 1/2 апофемы. Апофема =x?3/2 следовательно площадь = 6x?x?3/4=3x2?3/4 30 таких площадей равны 1 кв. м =10 000 кв. см. Имеем уравнение

30 ? 3x2?3/4 =10 000, откуда х = около 27 см.

103. Чему равна площадь сегмента, отсекаемого хордой равной радиусу R круга.

О круглых изделиях, суживающихся по прямой линии к одному концу, говорят, что они имеют «конусность». Конусность измеряется величиною уменьшения радиуса круга поперечного сечения на каждый сантиметр длины изделий. Если, например, радиус круга поперечного сечения изделия уменьшается с каждым сантиметром на 0,25 мм, то конусность изделия равна 0,25 мм на 1 см.

Легко рассчитать, что если длина изделия – 40 см, то от одного конца к другому оно суживается на 2 0,25 мм 40 = = 20 мм = 2 см. Наоборот, если круглое изделие в 50 см длины имеет на концах разность толщины (диаметров) 30 мм, то на каждый сантиметр длины разность диаметров составляет 30 мм: 50 = 0,6 мм, а разность радиусов – 0,3 мм; значит «конусность» этого изделия 0,3 мм на 1 см (или 0,3: 10 = 0,03).

Итак, конусность измеряется отношением катетов (черт. 227) ВС : АС в прямоугольном треугольнике АВС . Это отношение определяет наклон прямой АВ к LC и, следовательно, может служить мерою угла ВАС .

Мы видим из этого примера, что кроме уже известного нам градусного способа измерения острых углов, можно пользоваться еще и другим способом. Способ этот состоит в том, что за меру острого угла принимают отношение противолежащего ему катета к прилежащему катету в том треугольнике, который отсекается от этого угла перпендикуляром к одной из сторон. Например, угол А (черт. 228) можно измерять отношением ВС : АВ или равным ему отношением ED: AE (почему эти отношения равны?), или также равным им отношением MN: AN (почему это отношение равно предыдущим?). Каждое из этих равных отношений называется т а н г е н с о м угла A и обозначается через tang или tg .

Легко понять, что каждому острому углу отвечает определенный тангенс. Найти значение тангенса для каждого угла возможно помощью чертежа, измерив длину соответствующих линий и вычислив их отношение. Таким путем можно составить таблицу тангенсов для всех углов от 1° до 10°. Способ этот прост, но не достаточно точен. Существуют способы (чересчур сложные, чтобы их рассматривать здесь) узнавать тангенсы с любою точностью посредством вычислений. Готовая таблица вычисленных таким путем тангенсов для всех острых углов от 0°до 90° приложена в конце книги (вместе с некоторыми другими величинами, о которых речь будет дальше).

Если станем изменять величину угла от 0° до 90° и следить, как изменяется при этом величина тангенса, то заметим следующее. Когда угол близок к 0°, то и тангенс близок к нулю; поэтому условно пишут, что tg 0° = 0. С увеличением угла tg его быстро возрастает, а при 90° перпендикуляр к одной стороне угла вовсе не встречает другой: точка пересечения, как говорят, «удаляется в бесконечность». Поэтому считают, что tg 90 ° = бесконечности.

Для некоторых углов можно вычислить тангенс весьма несложным расчетом. Например, тангенс угла в 45° равен (черт. 229) ВС : АВ = 1 (почему?). Тангенс угла в 30° (черт. 230) равен ВС: АВ; но в треугольнике АСВ

Вместо отношения противолежащего катета к прилежащему можно для измерения острых углов брать и обратное отношение прилежащего катета к противолежащему. Это отношение называется к о т а н г е н с о м угла и обозначается знаком cotg. Из черт. 228 имеем:

Вообще между тангенсом и котангенсом существует следующая зависимость:

Легко сообразить, что с увеличением угла тангенс его увеличивается, а котангенс – уменьшается.

Рассмотрим еще одну зависимость между величиною тангенса и котангенса острых углов. Из прямоугольного треугольника АВС (черт. 231) видим: