Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Идея решения любой проблемы теории чисел путем кодирования ее в программу и затем проверки этой программы на кончаемость сродни идее о проверке подлинности буддистского коана путем кодирования его в сложенную цепочку и затем проверяя на наличие буддистской природы уже эту цепочку. Может быть, Ахилл был прав, предполагая, что нужная информация может лежать ближе к поверхности в одном отображении, чем в другом.

Довольно мечтать — пора заняться делом! Как можно доказать, что тест на кончаемость в принципе невозможен? Для этого мы попытаемся применить диагональный аргумент к Флупу, так же, как мы это делали с Блупом. Мы увидим, что между этими двумя случаями есть небольшая, но решающая разница.

Так же, как в случае Блупа, вообразим клуб, членами которого являются все программы Флупа. Мы будем называть его «Клубом Ф». Теперь проведем с ним те же три фильтрующих операции, после чего мы получим:

Полный клуб всех безвызовных программ Флупа, которые вычисляют функции с одним вводным параметром.

Давайте назовем эти специальные программы Флупа Зелеными Программами (поскольку они могут идти, никогда не останавливаясь, словно машины на зеленый свет).

Теперь, точно так же как мы это сделали с Белыми Программами, дадим каждой Зеленой Программе индекс и организуем их в каталог, каждый том которого состоит из программ определенной длины, расположенных в алфавитном порядке.

До сих пор мы просто повторяли с Флупом то, что ранее проделали с Блупом. Посмотрим теперь, удастся ли нам скопировать последнюю часть — диагональный метод. Попробуем определить диагональную функцию:

Zeldiag [N] = 1 + Zelprogram {#N}[N]

Тут получается заминка: функция Zeldiag [N] может не иметь определенного значения выхода для всех значений входного параметра N. Это происходит потому, что при «фильтровании» мы не очистили Клуб Ф от всех неоканчивающихся программ — таким образом, у нас нет гарантии, что мы сможем вычислить Zeldiag [N] для всех значений N. Иногда мы можем ввести вычисления, которые никогда не окончатся. Диагональный аргумент в этом случае не годится, так как для его успешного приложения диагональная функция должна иметь значение для всех возможных входных параметров.

Чтобы поправить положение, мы могли бы использовать тест на кончаемость — если бы таковой существовал. Давайте предположим на минуту, что такой тест имеется, и используем его в качестве нашего четвертого фильтра. Идя по списку Зеленых Программ, мы начинаем отбрасывать одну за другой все не-терминаторы, так что в конце у нас остается:

Полный клуб всех безвызовных программ Флупа, которые вычисляют функции с одним входным параметром и которые оканчиваются для всех его значений.

Давайте назовем эти специальные программы Флупа Красными Программами (поскольку они всегда должны останавливаться, как машины на красный свет). Теперь мы можем применить диагональный аргумент. Определим:

Krasdiag [N] = 1 + Krasprogram {#N}[N]

Точно так же, как в случае с функцией Белдиаг, мы должны заключить, что Krasdiag [N] — хорошо определенная, вычисляемая функция одной переменной, которая не находится в списке Красных Программ и, следовательно, ее невозможно вычислить даже с помощью мощного языка Флуп. Не пора ли нам перейти к Глупу?

Что же такое Глуп? если Флуп — это освобожденный от цепей Блуп, то Глуп должен, в свою очередь, быть освобожденным от цепей Флупом. Но как же можно снять цепи дважды? Как можно создать язык, более мощный, чем Флуп? Krasdiag [N] оказалась функцией, значение которой умеем вычислять только мы, люди, поскольку мы подробно описали всю процедуру на русском языке — однако эту функцию, по-видимому, невозможно запрограммировать на языке Флуп. Это — весьма серьезная проблема, поскольку никто пока не нашел компьютерного языка, более мощного, чем Флуп.

Мощность компьютерных языков в последнее время была объектом тщательных исследований. Нам самим не придется этим заниматься; упомянем только, что существует целый класс компьютерных программ с точно такой же выразительной мощностью , как Флуп, в том смысле, что любое вычисление, программируемое на одном языке, может быть запрограммировано на всех остальных языках. Интересно то, что почти любая попытка создать достойный внимания компьютерный язык приводит к созданию языка этого класса, то есть языка с выразительной мощностью Флупа. Приходится попотеть, чтобы создать достаточно интересный компьютерный язык слабее этих языков. Блуп, разумеется, пример более слабого языка, но это — скорее исключение, чем правило. Дело в том, что существует некий естественный путь создания алгоритмических языков, так что разные люди, работая независимо друг от друга, обычно создают эквивалентные языки, отличающиеся скорее стилем, чем степенью мощности.

В действительности, большинство специалистов считают, что для описания вычислений не может существовать более мощных языков, чем языки, эквивалентные Флупу. Эта гипотеза была сформулирована в 1930-х годах двумя людьми, работавшими независимо друг от друга. Об одном из них, Алане Тьюринге, мы еще будем говорить; другим был один из ведущих логиков этого столетия, Алонзо Чёрч. Гипотеза получила название Тезис Чёрча-Тьюринга . Принимаем Тезис Ч-Т за истину, мы должны заключить, что Глуп — не более, чем миф, поскольку во Флупе нет никаких ограничений, которые можно было бы снять; его мощность невозможно усилить, «сняв с него цепи», как мы это сделали с Блупом.

Это ставит нас в неудобное положение: нам приходится заключить, что люди могут вычислить Krasdiag [N] для любого N, в то время как компьютер этого сделать не может. Дело в том что если бы это было в принципе возможно, это было бы возможно на Флупе — однако мы только что выяснили, что на Флупе этого нельзя сделать по определению. Это такое странное заключение, что нам придется как следует рассмотреть, на чем оно основано. Одним из краеугольных камней нашего построения было, если вы помните, сомнительное предположение о существовании разрешающей процедуры, способной отличить заканчивающиеся программы Флупа от незаканчивающихся. Возможность такой процедуры показалась подозрительной уже тогда, когда мы увидели, что она помогла бы разрешить все проблемы теории чисел одинаковым путем. Теперь у нас есть две причины, чтобы считать тест на кончаемость мифом; видимо, невозможно, пропустив программы Флупа через центрифугу, отличить терминаторы от не-терминаторов.

Скептики могут возразить: а где же строгое доказательство невозможности подобного теста? Это возражение имеет смысл. Однако в подходе Тюринга мы находим более строгое обоснование того, что на языке класса Флупа невозможно написать программу, проверяющую программы Флупа на кончаемость.