Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Разумеется, арифмоквайнируя, вы проделываете специальную операцию замены, о которой мы упомянули ранее. Чтобы говорить об арифмоквайнировании в ТТЧ, нам понадобилась бы формула:

ZAM{a'',a'',a'}

где две первые переменные совпадают. Это происходит потому, что мы используем один и тот же номер двумя разными способами (эхо Канторовского диагонального метода!) Номер а' является одновременно (1) первоначальным Гёделевым номером и (2) номером-заменой. Давайте сократим вышеприведенную формулу:

ARITHMOQUINE{a'', a'}

В переводе на русский это означает, что:

а' — Гёделев номер формулы, полученной арифмоквайнированием формулы с Гёделевым номером а''.

Предыдущее предложение — длинное и запутанное. Давайте попробуем выразить то же самое с помощью краткого и элегантного термина:

а' — арифмоквайнификация а''

Например, арифмоквайнификацией формулы 262,111,123,666был бы следующий невероятный гигант:

123,123,123, ...... 123,123,123,666,111,123,666

|_________________________|

«123» повторяется 262, 111, 123,666 раз .

(Это всего-навсего Гёделев номер формулы, полученной, когда мы арифмоквайнировали a=S0.) Как видите, мы можем довольно легко говорить об арифмокваинировании в ТТЧ.

Если вы снова перелистаете «Арию в ключе G», то увидите, что последний трюк, необходимый для получения автореференции по Квайну, заключается в том, чтобы квайнировать высказывание, само говорящее о квайнировании. Одного квайнирования оказывается недостаточно — вы должны квайнировать предложение о квайнировании! Нам придется использовать параллельный трюк и арифмоквайнировать формулу, саму упоминающую квайнирование. Давайте запишем эту формулу; назовем ее дядей G.

~Eа:Eа':<���ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-

TTЧ{a,a'}Λ ARITHMOQUINE{a",a'}>

Легко увидеть, насколько здесь замешано арифмоквайнирование. У этого «дяди», разумеется, есть Гёделев номер — мы будем называть его d . Начало и конец d и даже кое-какие фрагменты его середины мы можем прочитать без труда:

d = 223,333,262,636,333,262,163,636,212..... 161,.... 213

Для остального нам только нужно знать, как выглядят в записи формулы ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ и ARITHMOQUINE. Приводить здесь эту запись слишком сложно, да и не нужно.

Теперь осталась самая малость — нужно арифмоквайнировать самого дядю! Для этого надо избавиться от свободных переменных, которых у нас только одна — а'' — и заменить их на символ числа d . Мы получим:

~Ea:Ea':<���ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-ТТЧ{a,a'}

ΛARITHMOQUINE{SS…SSS0/a'',a'}>

. |___|

. d «S»

Именно это и есть Гёделева строчка, которую мы называем «G». Теперь у нас возникают два вопроса, на которые необходимо ответить без промедления. Вот они:

(1) Каков Гёделев номер G?

(2) Какова интерпретация G?

Сначала ответим на первый вопрос. Как мы получили G? Мы начали с дяди и арифмоквайнировали его, так что, по определению арифмоквайнирования, Гёделев номер G— это:

арифмоквайнификация d .

Теперь второй вопрос. Постараемся перевести Gна русский постепенно, шаг за шагом проясняя значение этой строчки. Нашей первой попыткой будет дословный перевод:

«Не существует чисел а и а' таких, что они оба:

(1) составляют пару доказательства ТТЧ и

(2) а' является арифмоквайнификацией d ».

Мы знаем, однако, что существует число а', являющееся арифмоквайнификацией d . Следовательно, дело в другом числе, в а. Это позволяет нам перефразировать наш перевод:

«Не существует такого числа а, которое составляло бы пару доказательства ТТЧ с арифмоквайнификацией d »

(Этот шаг может быть немного сложным для понимания; ниже мы остановимся на нем подробнее.) Видите ли вы, что происходит? Gутверждает, что:

«Формула, чей Гёделев номер — арифмоквайнификация d , не является теоремой ТТЧ».

Но — и это уже не должно нас удивлять — эта формула не что иное, как сама строчка G! Следовательно, нашим окончательным переводом будет:

«G — не теорема ТТЧ»;

или, если вам так больше нравится —

«Я — не теорема ТТЧ».

Начав с интерпретации на низшем уровне — суждения теории чисел, мы постепенно дошли до интерпретации на высшем уровне — суждения мета-ТТЧ.

В главе IX мы уже упоминали о главном следствии этого удивительного построения: это неполнота ТТЧ. Давайте вспомним, как мы при этом рассуждали:

Является ли Gтеоремой ТТЧ? Если это так, то она должна утверждать истинный факт. Но что именно утверждает G? Свою собственную нетеоремность. Следовательно, из ее теоремности вытекала бы ее нетеоремность. Противоречие!

С другой стороны, что, если Gне теорема? Это можно принять, так как противоречия здесь не возникает. Но Gутверждает именно собственную нетеоремность — следовательно, Gутверждает истинный факт. Значит, поскольку Gне теорема, мы можем заключить, что существует по меньшей мере один истинный факт, не являющийся теоремой ТТЧ.

Теперь — обещанное объяснение сложного шага нашего перевода. Я воспользуюсь для этого похожим примером. Возьмем строчку

~Eа:Eа':<���ЧЕРЕПАШЬЯ ПАРА{а, а'}ΛДЕСЯТАЯ СТЕПЕНЬ{SS0/а'',а'}>

где оба сокращения обозначают строчки ТТЧ, которые вы можете дописать сами. ДЕСЯТАЯ СТЕПЕНЬ{а'',а'} представляет высказывание « а ' равняется а '' в десятой степени». Таким образом, дословный перевод на русский получается такой:

«Не существует чисел а и а ' таких, что они (1) составляют Черепашью пару, и (2) а ' — 2 в десятой степени».

Но мы знаем, что десятая степень 2 существует — это 1024. Таким образом, эта строчка на самом деле утверждает, что:

«Не существует числа а , которое составляет Черепашью пару с числом 1024».

Это высказывание, в свою очередь, сводится к:

«1024 не обладает Черепашьим свойством».

Нам удалось заменить символ числа на его описание. Это было возможно, благодаря использованию дополнительной квалифицированной переменной (а' ), В данном случае, число 1024 было описано как «десятая степень двух»— выше это было числом, описанным как «арифмоквайнификация d ».

Переведем дыхание и посмотрим, что мы сделали до сих пор. Для этого сравним арифмоквайнирование с парадоксом Эпименида. Вот схема этого соответствия:

ложность <==> нетеоремность

цитата фразы <==> Геделев номер строки

предварение предиката цитатой фразы <==> подстановка символа (или определенного терма) в открытую формулу

предварение предиката цитатой фразы <==> подстановка Гёделева номера строчки в открытую формулу