Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Довольно о геометрии — перейдем теперь к теории чисел. Так ли это важно и необходимо, чтобы существовали разные варианты теории чисел? Если бы вы спросили банковского работника, думаю, что он бы сначала не поверил, что вы говорите серьезно — а потом пришел в ужас. Как 2 + 2 может быть отлично от 4? Если бы 2 + 2 не было равно 4, разве не зашаталась бы мировая экономика от невыносимой неуверенности, не развалилась бы она от подобного удара? На самом деле, этого не произошло бы. Прежде всего, нестандартная теория чисел не угрожает старому доброму факту, что дважды два — четыре. Она отличается от привычной нам теории чисел только тем, как она обращается с понятием бесконечности. В конце концов, любая теорема ТТЧ остается теоремой в любой расширенной версии ТТЧ! Так что банкирам не надо волноваться о том что с приходом нестандартной теории чисел в финансовом мире воцарится хаос.

Боязнь что новые варианты математических теорий изменят старые, хорошо известные факты, отражает непонимание взаимоотношений математики с действительностью. Математика дает нам ответы на вопросы о реальном мире только после того , как мы выбрали, какой тип математики мы используем в данный момент. Даже если бы существовал соперничающий вариант теории чисел, использующий символы 2, 3 и +, в котором 2 + 2 = 3 было бы теоремой, у банкиров не было бы причин выбирать именно этот вариант! Эта теория не отражает того, как ведут себя деньги. Мы приспосабливаем математику к действительности, а не наоборот. Например, мы не используем теорию чисел, чтобы описывать облака поскольку там не подходит само понятие целых чисел. Одно облако может соединиться с другим, в результате чего получается не два, а одно облако! Это не доказывает, что 1 плюс 1 равняется 1, это доказывает лишь то, что наше понятие «один» не годится для «облачного исчисления».

Итак, банковские работники, любители считать облака и все остальные не должны бояться нашествия супернатуральных чисел, так как они абсолютно не затронут нашу повседневную жизнь. Повод для беспокойства есть только у тех людей чья работа связана с бесконечными величинами. Таких людей не очень много но математические логики находятся в их числе. Как может их затронуть существование вариантов теории чисел? Теория чисел играет в логике две роли: (1) когда она аксиоматизирована, она становится объектом изучения , и (2) используемая неформально, она является необходимым орудием , при помощи которого могут изучаться формальные системы. Это напоминает уже знакомое нам различие между использованием и упоминанием, в роли (1) теория чисел упоминается, в роли (2) она используется.

Математики решили, что теория чисел, хотя она и не подходит для подсчета облаков, вполне годится для изучения формальных систем, так же как банковские работники решили, что арифметика действительных чисел годится для их операций. Подобные решения принимаются вне математики ; они показывают, что мыслительные процессы, задействованные в изучении математики, так же, как и в других областях человеческой деятельности, включают «запутанные иерархии», где мысли на одном уровне могут влиять на мысли на другом уровне. При этом четкого разделения на уровни не существует, как могут думать последователи формалистского взгляда на математику.

Формалистская философия утверждает, что математики имеют дело с абстрактными символами и что им совершенно все равно, соответствуют ли эти символы окружающей их действительности. Однако это весьма искаженная картина, что становится особенно ясным в метаматематике. Используя саму теорию чисел для получения новых фактов о формальных системах, метаматематики показывают, что они считают эфирные создания, называемые «натуральными числами», частью реального мира , а не просто плодом воображения. Именно поэтому я упомянул ранее о том, что в некотором роде можно ответить на вопрос, какой из вариантов теории чисел является «истинным». Дело в том, что математическим логикам приходится выбирать, в какой из вариантов теории чисел «поверить». В частности, они не могут оставаться в стороне от принятия или не принятия супернатуральных чисел, поскольку эти варианты теории чисел дают разные ответы на вопросы метаматематики.

Возьмем, например, вопрос «Является ли ~G финитно выводимым в ТТЧ?» Ответа на этот вопрос не знает никто. Однако большинство специалистов по математической логике без колебаний ответят «нет». Этот ответ основывается на интуиции, говорящей, что если бы ~G было теоремой, ТТЧ была бы ω-противоречива. Если вы хотите придать смысл интерпретации ТТЧ, вам приходится признать существование супернатуральных чисел — невыносимая мысль для большинства людей. К конце концов, придумывая ТТЧ. мы не ожидали, что супернатуральные числа будут ее частью. Мы (по крайней мере большинство из нас) верим в то. что возможно придумать такую формализацию теории чисел, которая не заставит нас признать реальности супернатуральных чисел. Именно эта вера определяет решение метаматического витязя на распутьи разных теорий чисел. Но эта вера может оказаться ошибочной. Возможно, что любая непротиворечивая формализация теории чисел, которую люди способны изобрести, была бы ω-противоречива, и, следовательно, включала бы супернатуральные числа. Это странная мысль, но в принципе такое возможно.

Если бы это было верно (в чем я сомневаюсь, но доказательства обратного пока не существует), то G не должно бы оставаться неразрешимым. На самом деле, тогда в ТТЧ может вообще не остаться неразрешимых суждений. Это дало бы единственный и неделимый вариант теории чисел, который с необходимостью включал бы существование супернатуральных чисел. Это не то решение, которого ожидает большинство математических логиков, но тем не менее, оно не должно быть полностью отброшено. Обычно считается, что ТТЧ и подобные ей системы ω-непротиворечивы, и что Гёделева строчка, которая может быть выведена в данной системе, неразрешима внутри этой системы. Это значит, что возможно добавить либо эту строчку, либо ее отрицание в качестве аксиомы.

Я хотел бы завершить эту главу упоминанием о расширенном варианте теоремы Геделя (Этот материал излагается подробнее в статье Davis and Hersh, «Hilbert's Tenth Problem», см. Библиографию) Для этого я сначала определю Диофантиново уравнение. Это такое уравнение, в котором многочлен с установленными интегральными коэффициентами и экспонентами приравнивается к 0. Например,

a =0

и

5 x + 13 y - 1 = 0