Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Примерно тогда же я заметил, что случилось нечто удивительное: Диалог стал автореферентным, хотя я ничего подобного не планировал! Более того, это была косвенная автореферентность, поскольку герои нигде не упоминали о Диалоге, действующими лицами которого они в данный момент являлись. Вместо этого они говорили о структурах, на некотором абстрактном уровне изоморфных этому Диалогу. Иными словами, мой Диалог теперь имел тот же самый «концептуальный скелет», как и Гёделево утверждение G, и, таким образом, мог быть отображен на G примерно так же, как и Центральная Догма Типогенетики. Это было замечательно: нежданно-негаданно я нашел пример эстетического единства Гёделя, Эшера и Баха.

АНАФАЗА: Следующий шаг был довольно удивительным. У меня давно лежала монография Каролины Макгилаври, посвященная мозаичным работам Эшера; однажды, когда я стал ее перелистывать, мое внимание привлекла гравюра 23, которую я вдруг увидел в неожиданном свете: передо мной был самый настоящий крабий канон, как по форме, так и по содержанию! Эшер оставил эту картину без названия, и поскольку у него есть множество подобных мозаик с другими животными, возможно, что это совпадение формы и содержания было только моей случайной находкой. Так или иначе, эта безымянная гравюра была миниатюрной версией главной идеи моей книги — объединения формы и содержания. Так что я радостно окрестил гравюру «Крабьим каноном», поставил ее на место «Дня и ночи» и соответствующим образом изменил реплики Ахилла и Черепахи.

Однако это еще было не все. В то время я увлекался молекулярной биологией; однажды, перелистывая в магазине книгу Уатсона, я наткнулся в индексе на слово «палиндром». Найдя это слово в тексте, я обнаружил нечто удивительное, крабо-канонические структуры в ДНК. Тогда я изменил крабью речь, включив в нее замечание о том, что его любовь к странным движениям взад и вперед заложена в его генах.

ТЕЛОФАЗА: Последний шаг был сделан несколько месяцев спустя, когда, рассказывая кому-то о крабо-каноническом отрезке ДНК (рис. 43), я заметил, что «А», «Т» и «С», обозначающие, соответственно, аденин, тимин и цитозин, совпадали — mirabile dictu — с «А», «Т» и «С» Ахилла, Черепахи (Tortoise) и Краба (Crab). Более того, так же, как аденин и тимин попарно соединены в ДНК, Ахилл и Черепаха соединены в Диалоге. С другой стороны, «G», буква, спаренная в ДНК с «С», могла обозначать Гения. Я снова вернулся к Диалогу и немного изменил речь Краба, так что она отразила эту новую находку. Теперь у меня было соответствие структуры ДНК структуре Диалога. В этом смысле можно сказать, что ДНК было генотипом, в котором был закодирован фенотип — структура Диалога. Этот финальный аккорд снова подчеркнул автореференцию и придал Диалогу такое глубокое значение, которого я сам не ожидал.

Это более или менее полное описание эпигенеза «Крабьего канона». Этот процесс можно рассматривать как постепенное отображение идей друг на друга на разных уровнях абстракции. Я называю это концептуальным отображением , а абстрактные структуры, роднящие две разные идеи — концептуальными скелетами . Пример концептуального скелета — абстрактное понятие крабьего канона:

структура, состоящая из двух частей, которые проделывают одно и то же, но двигаются при этом в противоположных направлениях.

Это конкретный геометрический образ, с которым мы можем обращаться почти так же, как с задачей Бонгарда. Думая о «Крабьем каноне», я представляю себе две ленты, перекрещивающиеся в центре, где они соединены узлом (реплика Краба). Этот настолько наглядный образ, что он тут же отображается у меня в голове на образ двух хромосом, в середине соединенных центромерой — картина, прямо выведенная из мейозиса (см. рис. 132).

Рис. 132.

Именно этот образ навел меня на мысль описать создание «Крабьего канона» в терминах мейозиса — что само по себе, разумеется, также является примером концептуального отображения.

Существуют разные способы синтеза двух символов. Например, можно расположить идеи рядышком (словно идеи линейны!) и затем выбирать из каждой по кусочку и комбинировать их по-новому. Это напоминает генетическую рекомбинацию. Чем именно обмениваются хромосомы, и как они это делают? Они обмениваются генами. Что в символе сравнимо с геном? Если в символе есть рамкообразные гнезда, то, пожалуй, именно эти гнезда. Но какие из них должны быть обменены, и почему? Ответить на этот вопрос нам поможет синтез крабоканонического типа. Отображение понятия «музыкального канона-ракохода» на понятие «диалога» включало в себя несколько дополнительных отображений — в действительности, оно порождало дополнительные отображения. Как только было решено, что эти идеи должны быть отображены друг на друга, оставалось лишь взглянуть на них на том уровне, где были заметны аналогичные части, и затем начать их взаимное отображение . Этот рекурсивный процесс может идти на каком угодно уровне. Например, «голос» и «действующее лицо» возникли как соответствующие друг другу гнезда абстрактных понятий «музыкальный канон» и «диалог». Откуда же взялись сами эти абстрактные понятия? Это основная проблема отображения: откуда берутся абстрактные представления? Как можно получить абстрактное представление специфических понятий?

Концептуальный скелет — это некое абстрактное представление, полученное путем проецирования понятия на одно из его измерений. Мы уже имели дело с концептуальными скелетами, не называя их по имени. Например, многие идеи, касающихся задач Бонгарда, могут быть выражены в этих терминах. Это всегда интересно и часто полезно, когда мы обнаруживаем, что две (или более) идеи имеют сходный концептуальный скелет. Примером этого может служить странный набор понятий, упоминающихся в начале «Контрафактуса»: бициклопы, одноколесный тандем, мотоциклы «Зигзиг», игра в пинг-пинг, команда, разделившая первое место сама с собой, двухсторонний лист Мёбиуса, «близнецы Бах», фортепианный концерт для двух левых рук, одноголосная фуга, аплодирование одной рукой, двухканальный моно-магнитофон, четверка четвертьзащитников. Все эти идеи изоморфны, потому что у них один и тот же концептуальный скелет:

множественная вещь, разъятая на части и собранная ошибочно.

Две других идеи этой книги, разделяющие один и тот же концептуальный скелет, это (1) Черепахино решение Ахилловой головоломки — найти слово, начинающееся и кончающееся на «КА» (она предложила частицу «КА», соединяющие оба «ка» в одно) и (2) доказательство Теоремы Ослиного Мостика (Pons Asinorum), предложенное Паппусом и программой Гелернтера, в котором один треугольник представлен как два. Эти странные сооружения можно именовать «полу-двойняшками.»