Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

У нас будет два уровня правил, одни говорят нам, как ходят фигуры, и другие — как изменяются правила. Таким образом, у нас есть правила и мета-правила. Следующий шаг очевиден: введение мета-мета-правил, говорящих нам, как менять мета-правила. Однако вовсе не очевидно, как именно это сделать. Правила, меняющие ходы фигур, придумать легко, поскольку фигуры двигаются в формализованном пространстве шахматной доски. Если бы нам удалось придумать простую формальную запись для правил и мета-правил, тогда обращаться с ними стало бы так же легко, как с цепочками формул или даже с шахматными фигурами. Доводя эту идею до логической крайности, мы могли бы представить, что правила и мета-правила могут быть изображены в виде позиций на вспомогательной шахматной доске. Тогда каждая позиция сможет, в зависимости от вашей интерпретации, быть понята как момент игры, набор правил или набор мета-правил. Разумеется, оба игрока должны будут заранее договориться о том, как интерпретировать нотацию.

В этой игре у нас может быть любое количество дополнительных досок: доска для игры, для правил, для мета-правил, для мета-мета-правил и так далее, пока нам не надоест. Очередной игрок может ходить на любой из этих досок, кроме доски самого высшего уровня. Правила при этом определены доской «ступенькой выше». Несомненно, оба игрока вскоре запутаются из-за того, что почти все — но не всё! — может меняться. По определению, доска высшего уровня должна оставаться неприкасаемой, поскольку у вас нет правил, говорящих вам, как ее менять. Это — неизменный уровень. Неизменны также условия, по которым изменяются другие доски, соглашение играть по очереди, условие, что очередной игрок может менять что-то только на одной из досок — вы найдете здесь и другие неизменные элементы, если рассмотрите эту идею более подробно.

Возможно пойти гораздо дальше, если убрать опорные ориентиры. Начнем действовать постепенно… Сначала сведем весь набор досок к одной-единственной доске. Что это означает? Что эту доску можно будет интерпретировать двояко как (1) фигуры, которые надо двигать и (2) правила ходов. Игроки, двигающие фигуры, тем самым меняют правила! Таким образом, правила постоянно меняют сами себя. Здесь слышен отголосок типогенетики (и настоящей генетики!) Различие между игрой, правилами, мета-правилами и мета-мета-правилами оказывается стерто. То, что когда-то было четкой иерархической системой, превратилось в Странную Петлю или Запутанную Иерархию. Ходы меняют правила, правила определяют ходы — и так далее, по кругу. Здесь все еще есть различные уровни, но разница между «высшими» и «низшими» уровнями уже исчезла.

При этом часть того, что раньше было неприкасаемым, стало возможно модифицировать. Но в системе все еще осталось множество неизменных вещей. Так же как и раньше, между вами и вашим противником существуют некие соглашения, при помощи которых вы интерпретируете доску как определенный набор правил, соглашение играть по очереди и другие негласные условия. Заметьте, что теперь понятие различных уровней изменилось довольно неожиданным образом. У нас есть Неизменный уровень — давайте назовем его уровень Н — на котором находятся соглашения, касающиеся интерпретации, и Запутанный уровень — уровень З — на котором находится Запутанная Иерархия. Эти два уровня все еще иерархичны: уровень Н управляет тем, что происходит на уровне З, в то время как уровень З не затрагивает и не может затронуть уровня Н. Несмотря на то, что сам уровень З представляет из себя Запутанную Иерархию, он все же подчиняется набору правил, находящихся за его пределами. Это очень важный момент.

Как вы, несомненно, уже предположили, ничто не мешает нам сделать «невозможное» — а именно, соединить уровень Н с уровнем 3. Для этого надо только поставить сами условия интерпретации в зависимость от положения на шахматной доске. Однако для того, чтобы провести подобное «сверх-соединение», вам и вашему противнику придется выработать некие новые соглашения, соотносящие два уровня — и это создаст новый неизменный уровень сверху «сверхсмешанного» (или под ним, если вам так больше нравится). И это может продолжаться до бесконечности. «Скачки», которые при этом совершаются, напоминают те, что были описаны в Диалоге «Праздничная Кантатата» и в повторной Гёделизации, примененной к разнообразным улучшенным вариантам ТТЧ. Каждый раз, когда вам кажется, что вы подошли к концу, возникает новый вариант выхода из системы; чтобы его заметить, нужно некоторое творческое воображение.

Я не собираюсь здесь прослеживать эту странную тему усложняющихся комбинаций систем, которые могут возникнуть в само-изменяющихся шахматах. Моей целью было показать читателю графически, что в каждой системе есть некий «защищенный» уровень, на который не действуют правила других уровней, какими бы запутанными не были их взаимодействия между собой. Забавная загадка из главы IV иллюстрирует эту мысль в немного ином контексте. Может быть, она застанет вас врасплох:

Рис. 134. «Авторский треугольник».

Перед нами три автора: З, Ч и Э. З существует только в романе, написанном Ч. Аналогично, Ч — только герой романа, написанного Э. Что удивительно, Э — тоже не более как персонаж романа — чей автор, естественно, З. Может ли существовать такой авторский треугольник?

Разумеется, может! Но для этого все трое должны быть персонажами четвертого романа, написанного X. Можно сказать, что З-Ч-Э представляет из себя Странную Петлю или Запутанную Иерархию, а автор X находится в неизменном пространстве, вне той системы, в которой происходит эта путаница. Хотя З, Ч и Э имеют прямой или косвенный доступ друг к другу и могут напакостить один другому в своих романах, ни один из них не может затронуть жизнь X. Они даже не могут вообразить его, так же, как вы не в состоянии представить себе автора того романа, который выдумал в качестве своего героя вас . Если бы я хотел ввести в схему автора X, я нарисовал бы его вне страницы. Разумеется, это было бы проблематично, поскольку изображение предмета с необходимостью помещает его на странице… Так или иначе, X в действительности находится вне мира, в котором обитают З, Ч и Э, и должен быть представлен соответствующим образом.

Рис. 135. М. К. Эшер. Рисующие руки, (литография, 1948).

Другая классическая вариация на эту тему — картина Эшера «Рисующие руки» (Рис. 135). Здесь левая рука (ЛР) рисует правую руку (ПР), в то время как ПР рисует ЛР. Снова уровни, обычно понимаемые как иерархические — рисующее и рисуемое — замыкаются друг на друга, создавая Запутанную Иерархию. Этот пример, разумеется, подтверждает идею данной главы, поскольку за ним стоит ненарисованная, но рисующая рука самого Эшера — создателя как ЛР, так и ПР. Эшер стоит вне пространства этих рук, и это хорошо видно на рис. 136. В верхней части этого схематического варианта картины Эшера вы видите Странную Петлю или Запутанную Иерархию, а в нижней — Неизменный уровень, позволяющий ее существование. Мы могли бы еще раз «Эшеризировать» картину Эшера. сфотографировав рисующую ее руку… и так далее.