Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

(14) (S0*S0)=S0 транзитивность (строчки 3,13)

Возникает интересный вопрос: «Каким образом мы можем вывести строчку 0=0?» Кажется, что очевидным способом было бы сначала вывести строчку Aa:a=a и затем использовать спецификацию. Как вы думаете, где ошибка в нижеследующем «выводе» Aa:a=a... Можете ли вы ее исправить?

(1) Aa:(a+0)=a аксиома 2

(2) Aa:a=(a+0) симметрия

(3) Aa:a=a транзитивность (строчки 2,1)

Я привел это маленькое упражнение, чтобы указать на следующий простой факт: при манипуляции хорошо знакомыми символами, такими, как «=», мы не должны торопиться. Мы должны следовать правилам, а не нашему знанию пассивных значений символов. (Тем не менее, это знание весьма ценно, чтобы помочь нам направить вывод по верному пути.)

Давайте выясним, почему и спецификация, и общность нуждаются в ограничениях Взгляните на следующие две деривации; в каждой из них одно из ограничений нарушено. Обратите внимание, к каким печальным последствиям это привело.

(1) [ проталкивание

(2) a=0 посылка

(3) Aa:a=0 обобщение (ложно!)

(4) Sa=0 спецификация

(5) ] выталкивание

(6) правило фантазии

(7) Aa:

(8) <0=0эS0=0> спецификация

(9) 0=0 предыдущая теорема

(10) S0=0 отделение (строчки 9,8)

Это первое из печальных последствий. Другое получается из неверной спецификации.

(1) Aa:a=a предыдущая теорема

(2) Sa=Sa спецификация

(3) Eb:b=Sa существование

(4) Aa:Eb:b=Sa обобщение

(5) Eb:b=Sb спецификация (ложно!)

Теперь вы убедились, почему необходимы ограничения. Вот простая задачка: переведите (если вы этого уже не сделали раньше) четвертый постулат Пеано в нотацию ТТЧ, и затем выведите эту строчку как теорему.

Если вы поэкспериментируете с теми правилами и аксиомами ТТЧ, которые я привел до сих пор, вы обнаружите, что возможно вывести следующую пирамидальную семью теорем (множество строчек, отлитых из одной формы и отличающихся только тем, что символы чисел 0, S0, SS0, и так далее, идут по нарастающей):

(0+0)=0

(0+S0)=S0

(0+SS0)=SS0

(0+SSS0)=SSS0

(0+SSSS0)=SSSS0

и так далее.

Каждая из теорем этой семьи может быть выведена из предыдущей теоремы с помощью коротенькой, всего лишь в пару строчек, деривации. Результатом является нечто вроде каскада теорем, каждая из которых вызывает к жизни следующую. (Эти теоремы напоминают теоремы pr, где средняя и правая группы тире возрастали одновременно.)

Существует одна строчка, которую легко записать и которая суммирует пассивное значение всех этих строчек, вместе взятых. Вот эта универсально квантифицированная суммирующая строчка:

Aa:(0+a)=a

Однако при помощи правил, данных до сих пор, эту строчку вывести нельзя. Попробуйте сами, и вы в этом убедитесь!

Вы можете подумать, что ситуацию легко исправить, используя следующее:

(ПРЕДЛАГАЕМОЕ) ВСЕОБЩЕЕ ПРАВИЛО: Если все строчки в пирамидальной семье — теоремы, то универсально квалифицированная строчка, их суммирующая, также является теоремой.

Недостаток этого правила в том, что оно не может быть использовано при работе по способу M. Только люди, думающие о системе, могут знать, что каждая из бесконечного множества строчек — теорема. Следовательно, это правило не может являться частью формальной системы.

Мы очутились в странной ситуации, в которой возможно типографским путем производить теоремы о сложении любых конкретных чисел, но даже такая простая строчка, как приведенная выше, выражающая свойство сложения в общем , не является теоремой. Вы, возможно, найдете это не таким уж странным, поскольку мы уже были в похожей ситуации с системой pr. Однако система prне имела претензий по поводу своих возможностей; на самом деле, там было невозможно даже выразить общие свойства, а тем более, доказать их. В той системе просто не было соответствующего «оборудования» — при этом нам и в голову не приходило, что система была дефектна. Однако у ТТЧ возможностей гораздо больше; соответственно, мы ожидаем от нее большего, чем от системы pr. Если приведенная выше строчка — не теорема, то у нас есть основания подозревать, что в ТТЧ есть какой-то дефект. На самом деле, существует даже название для систем с подобным дефектом — они называются ω- неполными . (Символ ω — «омега» — выбран потому, что иногда все множество натуральных чисел обозначается этой буквой.) Далее следует точное определение:

Система является ω-неполной, если все строчки в пирамидальной семье — теоремы, но универсально квантифицированная строчка, их суммирующая, — не теорема.

Кстати, отрицание приведенной суммирующей строчки —

~Aa:(0+a)=a

— тоже не-теорема ТТЧ. Это означает, что первоначальная строчка неразрешима внутри системы . Если бы та или другая были теоремами, мы сказали бы, что они разрешимы. Хотя это и звучит как мистический термин, в неразрешимости внутри данной системы нет ничего таинственного. Это означает, что система может быть дополнена. Например, внутри абсолютной геометрии пятый постулат Эвклида неразрешим. Чтобы получить геометрию Эвклида, его необходимо добавить; а отрицание пятого постулата, наоборот, производит не-эвклидову геометрию. Поскольку мы обратились к геометрии, давайте вспомним, почему это происходит. Дело в том, что четыре постулата не определяют термины «точка» и «линия» с достаточной точностью, так что остается возможность для различных интерпретаций этих понятий. Точки и линии Эвклидовой геометрии представляют собой лишь одну из возможных интерпретаций понятий «точка» и «линия» — ТОЧКИ и ЛИНИИ неэвклидовой геометрии — другая интерпретация. Однако то, что люди в течение тысячелетий пользовались такими хорошо известными словами как «точка» и «линия», заставило их думать, что эти слова могут иметь лишь одно-единственное значение.

С подобной же ситуацией мы сталкиваемся в ТТЧ Мы приняли нотацию, которая способствует созданию у нас некоторых предрассудков Например, использование символа «+» создает у нас впечатление, что любая теорема, использующая этот знак, сообщает нам что-то значимое о хорошо нам знакомой операции, под названием «сложение» Поэтому нам кажется, что предложить «шестую аксиому»

~Ea:(0+a)=a

было бы неверным. Она не совпадает с нашими знаниями о сложении Однако это одна из возможностей расширить ту ТТЧ, что мы сформулировали до сих пор Система, использующая данную строчку в качестве шестой аксиомы, последовательна в том смысле, что в ней нет двух теорем типа x и ~ x. Однако если вы наложите эту «шестую аксиому» на пирамидальную семью теорем, вы, возможно, будете поражены кажущимся несоответствием теорем этой семьи с новой аксиомой Этот тип непоследовательности, однако, не так вреден, как другой (где и x и ~ x — теоремы). На самом деле это даже нельзя назвать непоследовательностью, так как существует такая интерпретация символов ТТЧ, в которой все получается хорошо.