Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда
- Название:ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда
- Автор:
- Жанр:
- Издательство:Издательский Дом «Бахрах-М», 2001.
- Год:2001
- Город:Самара
- ISBN:ISBN 5-94648-001-4
- Рейтинг:
- Избранное:Добавить в избранное
-
Отзывы:
-
Ваша оценка:
Даглас Хофштадтер - ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда краткое содержание
Не часто приходится держать в руках книгу, которая открывает новые миры, в которой сочетаются глубина мысли и блестящая языковая игра; книгу, которой удалось совместить ничем на первый взгляд не связанные сложные области знания.
Выдающийся американский ученый изобретает остроумные диалоги, обращается к знаменитым парадоксам пространства и времени, находит параллели между картинами Эшера, музыкой Баха и такими разными дисциплинами, как физика, математика, логика, биология, нейрофизиология, психология и дзен-буддизм.
Автор размышляет над одной из величайших тайн современной науки: каким образом человеческое мышление пытается постичь самое себя. Хофштадтер приглашает в мир человеческого духа и «думающих» машин. Это путешествие тесно связано с классическими парадоксами, с революционными открытиями математика Курта Геделя, а также с возможностями языка, математических систем, компьютерных программ и предметного мира говорить о самих себе с помощью бесконечных отражений.
Начав читать эту книгу,вы попадете в волшебные миры, отправитесь в путешествие, изобилующее увлекательными приключениями, путешествие, после которого вы по-иному взглянете на мир и на самого себя.
Переведенная на 17 языков, книга потрясла мировое интеллектуальное сообщество и сразу стала бестселлером. Теперь и русский читатель получил доступ к одной из культовых книг XX века.
ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда - читать онлайн бесплатно полную версию (весь текст целиком)
Интервал:
Закладка:
Этот тип противоречивости, созданный наложением (1) пирамидальной семьи теорем, которые, вместе взятые, утверждают, что все натуральные числа имеют определенное свойство, и (2) одной теоремы, утверждающей, что не все числа обладают этим свойством, называется ω- противоречивостью . ω- противоречивая система похожа на сначала-раздражающую-но-в-конце-концов-приемлемую неэвклидову геометрию. Чтобы построить мысленную модель того, что происходит, вообразите себе, что имеются некоторые дополнительные числа — давайте будем называть их не натуральными, а экстранатуральными — у которых нет численных символов Поэтому их свойства не могут быть представлены в пирамидальной семье (Это немного напоминает представление Ахилла о БОГе — что-то вроде «супергения», существа, находящегося выше всех гениев. Хотя это представление и было опровергнуто Гением, тем не менее это хороший образ, и может помочь вам вообразить экстранатуральные числа ).
Все это говорит нам о том, что аксиомы и правила ТТЧ, как мы до сих пор ее представляли, не описывают с достаточной полнотой интерпретации символов этой системы В нашей воображаемой модели понятий, которые эти символы представляют, еще остается место для вариантов Каждый из возможных вариантов системы опишет эти понятия немного полнее, но сделает это по-своему. Какие из символов приобретут «раздражающие» пассивные значения, если мы добавим приведенную выше «шестую аксиому»? Все ли символы окажутся «испорченными», или некоторые из них сохранят то значение, которые мы имели в виду? Предлагаю вам над этим поразмыслить. В главе XIV мы снова встретимся с подобным вопросом; там мы обсудим его подробнее. В любом случае, не будем здесь останавливаться на этом дополнении системы; вместо этого мы попытаемся исправить ω-неполноту ТТЧ.
Недостаток обобщающего правила был в том, что оно требовало знания того факта, что все строчки бесконечной пирамидальной семьи — теоремы; это слишком много для конечного существа. Однако представьте себе, что каждая строчка пирамиды может быть выведена из своей предшественницы регулярным путем. Тогда у нас оказалась бы конечное основание на то, чтобы считать все строчки пирамиды теоремами. Таким образом, трюк состоит в том, чтобы найти ту схему, которая порождает пирамиду, и показать, что сама эта схема является теоремой. Это подобно доказательству того, что каждый гений передает послание своему Мета-гению, как в детской игре в телефончик. Остается только доказать, что эта цепочка посланий начинается с гения — то есть установить, что первая строчка пирамиды — теорема. Тогда мы можем быть уверены, что послание дойдет до БОГа!
В конкретной пирамиде, которую мы рассматривали, такая схема существует; она представлена строчками 4-9 данной ниже деривации.
(1) Aa:Ab:(a+Sb)=S(a+b) аксиома 3
(2) Ab:(0+Sb)=S(0+b) спецификация
(3) (0+Sb)=S(0+b) спецификация
(4) [ проталкивание
(5) (0+b)=b посылка
(6) S(0+b)=Sb добавление S
(7) (0+Sb)=S(0+b) перенос строки 3
(8) (0+Sb)=Sb транзитивность
(9) ] выталкивание
Посылка здесь — (0+b)=b; результат — (0+Sb)=Sb.
Первая строка пирамиды — также теорема; это прямо следует из аксиомы 2. Все, что теперь требуется, это правило, позволяющее нам заключить, что строчка, суммирующая всю пирамиду в целом, тоже является теоремой. Такое правило будет формализованным пятым постулатом Пеано.
Чтобы выразить это правило, нам необходимо ввести кое-какую нотацию.
Давайте запишем правильно сформированную формулу, в которой переменная а свободна:
X{a}
(Там могут встречаться и другие свободные переменные, но нам это неважно.) Тогда запись X{Sa/a} будет обозначать то же самое, с той разницей, что все а будут заменены на Sa. Таким же образом, X{0/а} будет обозначать ту же строку, в которой все а заменены на 0.
Приведем конкретный пример. Пусть X{a} обозначает строчку (0+а)=а. Тогда X{Sa/a} представляет строчку (0+Sa)=Sa, a X{0/a} — строчку (0+0)=0.
(Внимание: эта нотация не является частью ТТЧ; она служит нам лишь для того, чтобы говорить о ТТЧ.)
С помощью этой новой нотации мы можем выразить последнее правило ТТЧ весьма точно:
ПРАВИЛО ИНДУКЦИИ. Предположим, что u — переменная и X{ u } — правильно сформированная формула, в которой и свободно. Если и Au
Мы подошли так близко, как возможно, к введению пятого постулата Пеано в ТТЧ. Давайте теперь используем его, чтобы показать, что Aa:(0+a)=a действительно является теоремой ТТЧ Выходя из области фантазии в приведенной выше деривации, мы можем использовать правило фантазии, чтобы получить
(10) <(0+b)=bэ(0+Sb)=Sb> правило фантазии
(11) Ab:<(0+b)=bэ(0+Sb)=Sb> обобщение
Это — первая из двух вводных теорем, требующихся для правила индукции другая — первая строка пирамиды — у нас уже имелась Следовательно мы можем применить правило индукции и получить то, что нам требуется
Ab:(0+b)=b
Спецификация и обобщение позволят нам изменить переменную с b на a , таким образом, Aa:(0+a)=a перестает быть неразрешимой строчкой ТТЧ.
Я хочу представить здесь более длинную деривацию ТТЧ с тем, чтобы читатель посмотрел, как она выглядит; эта деривация доказывает простой, но важный факт теории чисел.
(1) Aa:Ab:(a+Sb)=S(a+b) аксиома 3
(2) Ab:(d+Sb)=S(d+b) спецификация
(3) (d+SSc)=S(d+Sc) спецификация
(4) Ab:(Sd+Sb)=S(Sd+b) спецификация (строка 4)
(5) (Sd+Sc)=S(Sd+c) спецификация
(6) S(Sd+c)=(Sd+Sc) симметрия
(7) [ проталкивание
(8) Ad:(d+Sc)=(Sd+c) посылка
(9) (d+Sc)=(Sd+c) спецификация
(10) S(d+Sc)=S(Sd+c) добавление S
(11) (d+SSc)=S(d+Sc) перенос 3
(12) (d+SSc)=S(Sd+c) транзитивность
(13) S(Sd+c)=(Sd+Sc) перенос 6
(14) (d+SSc)=(Sd+Sc) транзитивность
(15) Ad:(d+SSc)=(Sd+Sc) обобщение
(16) ] выталкивание
(17) правило фантазии
(18) Ac: обобщение
*****
(19) (d+S0)=S(d+0) спецификация (строчка 2)
(20) Aa:(a+0)=a аксиома 1
(21) (d+0)=d спецификация
(22) S(d+0)=Sd добавление S
(23) (d+S0)=Sd транзитивность (строки 19,22)
(24) (Sd+0)=Sd спецификация (строка 20)
(25) Sd=(Sd+0) симметрия
(26) (d+S0)=(Sd+0) транзитивность (строчки 23, 25)
(27) Ad:(d+S0)=(Sd+0) обобщение
*****
(28) Ac:Ad:(d+Sc)=(Sd+c) индукция (строчки 18,27)
[В сложении S может быть передвинуто вперед или назад.]
(29) Ab:(c+Sb)=S(c+b) спецификация (строчка 1)
(30) (c+Sd)=S(c+d) спецификация
(31) Ab:(d+Sb)=S(d+b) спецификация (строчка 1)
(32) (d+Sc)=S(d+c) спецификация
(33) S(d+c)=(d+Sc) симметрия
(34) Ad:(d+Sc)=(Sd+c) спецификация (строчка 28)
(35) (d+Sc)=(Sd+c) спецификация
(36) [ проталкивание
Читать дальшеИнтервал:
Закладка: