Яков Перельман - Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета

Ленинград.

От составителя

В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета, Они рассчитаны на средние способности имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.

Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 X 8) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20X8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.

Еще примеры:

34*7=30*7+4*7=210+28=238

17*6=40*6+7*6=240+42=282

Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:

Зная эту таблицу, можно умножение например, 147*8 выполнить в уме так: 147*8-140*8+7*8= 1120 + 56= 1176

Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225*6=225*2*3=450*3=1350

Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.

Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:

6*28=28*6=120+48=168

Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:

29*12=29*10+29*2=290+58= 348

41*16=41*10+41*6 = 410+246 =656

(или 41*16=16*41 = 16*40+16*1=640+16=656

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:

45*14 =90*7=630

Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:

112*4 =224*2=448

335*4 = 670*2 =1340

Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:

217*8 = 434*4=868*2=1736

(Eще удобнее: 217*8=200*8 +17*8= 1600*13=1736.

Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:

76:4 =38:2=19

236:4=118:2=59

Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:

464:8=232:4=116:2=58

516:8=258:4=129:2= 64 1/2

Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:

74*5= 740:2= 370

243*5=2430:2=1215

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:

74*5 = 74/2*10=370

Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4 , т. е.—если число кратно 4-х —делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:

72*25 = 72/4*100= 1800

Если же число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют

при остатке: к частному

1 25

2 50

3 75

Основание приема ясно из того, что

100:4=25;

200:4=50;

300:4=75

Чтобы устно умножить число на 1 1/ 2прибавляют к множимому его половину. Например:

34*1 1/ 2= 34 + 17=51

23*1 1/ 2=23 + 11 1/ 2= 34 1/ 2(или 34,5)

Чтобы устно умножить число на 1 1/ 4Прибавляют к множимому его четверть. Например:

48*1 1/ 4=48 +12=60

58*1 1/ 4= 58+14 1/ 2=72 1/ 2или 72,5

Чтобы устно умножить число на 2 1/ 2. к удвоенному числу прибавляют половину множимого.

Например: 18*2 1/ 2.=36+9= 45;

39*2 1/ 2.= 78 + 19 1/ 2.= 97 1/ 2(или 97,5)

Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:

18*2 1/ 2= 90:2 = 45

Чтобы устно умножить число на 3/ 4(т. е. чтобы найти 3/ 4этого числа), умножают число на 1 1 /2 и делит пополам. Например:

30 * 3/ 4= (30+15)/2= 22 1/ 2(или 22,5)

Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 1 1/ 2, (потому что 10*1 1/ 2=15) Например:

18*15=18*1 1/ 2*10=270

45*15=450+225=675

Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 1 1 /4(потому что 100*1 1 /4 =125). Например:

26*125 = 26*100*1 1 /4= 2600 + 650 = 3250

47*125 = 47*100*1 1 /4= 4700+4700/4= 4700+1175 = 5875

Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/ 4(потому что 100* 3/ 4=75). Например:

18*75= 18*100* 3/ 4=1800* 3/ 4 =( 1800 + 900)/2=1350

Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6

18*15 = 90*3 = 270

26*125 = 130*25 = 3250

Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:

62*9=620-62=600—42=558

73*9=730-73=700—43=657

Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:

87*11=870+87=957

Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числ-последнюю цифру. Например:

68:5=136:10=13,6

237:5 =474:10=47,4

Чтобы устно разделить число на 1 1 /2делят удвоенное число на 3. Например:

36:1 1 /2=72:3=24

53:1 1 /2=106:3=35 1/ 3

Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например

240:15=480:30=48:3=16

462:15=924:30=30 24/ 30=30 4/ 5=30,8 (или 924:30 =308:10=30,8)

Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8*9=72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:

25 2; 2*3=6; 625

45 2; 4*5= 20; 2025

145 2; 14*15 = 210; 21025

Прием этот вытекает из формулы (10х+5) 2= 100х 2+100х+25=100х(х+1)+25

Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

8,5 2= 72,25

14,5 2=210,25

0,35 2= 0,1225 fи т. п.

Так как 0,5= ½, а 0,25 = ¼, то приемом § 25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ½: