Иосиф Розенталь - Геометрия, динамика, вселенная

Чтобы понять дальнейшие рассуждения, следует сделать некоторое усилие и отрешиться от привычных и наглядных представлений о параллельных в евклидовом пространстве.

Прежде всего определим для кривой поверхности однозначный аналог прямой между двумя точками. Уже упоминалось, что в общем случае этого требования недостаточно для однозначного определения «прямой» между двумя точками. Оно оказывается достаточным, если обе точки расположены близко друг к другу. Тогда кратчайший отрезок, соединяющий обе точки, называется геодезической линией. Если нужно провести геодезическую линию (аналог прямой) для двух произвольных точек, то ее составляют из отрезков геодезических, соединяющих близкие точки.

Процедура параллельного переноса была предложена итальянским ученым Т.Леви-Чивита. возьмем на поверхности две

1 бесконечно-близкие точки M и M| и рассмотрим в точке M вектор поверхности a (лежащий в касательной плоскости к поверхности). Если перенести вектор a параллельно самому

1 себе (в евклидовом смысле) в точку M|, то он не будет лежать

1 в касательной плоскости в точке M| поверхности и не будет вектором поверхности. Спроектируем вектор a на касательную

1 1 плоскость к поверхности в точке M|, тогда получим вектор a|,

1 лежащий в касательной плоскости к поверхности в точке M| и

1 являющийся вектором поверхности. По определению, вектор a|

1 является параллельно перенесенным в точку M| вектором a. Если точки M и N отстоят на бесконечном расстоянии, то их следует соединить кривой, лежащей на поверхности, разбить ее на бесконечно малые участки и к каждому применить процедуру параллельного переноса. Получающийся в результате вектор зависит от вида соединяющей исходную и конечную точки кривой. Если кривая замкнута, то при возвращении в исходную точку параллельно перенесенный вектор не будет совпадать с исходным, а составит с ним некий угол BETA. Этот угол равен нулю, если параллельный перенос производится вдоль геодезической линии. Это связано с тем, что при параллельном переносе угол между переносимым вектором и геодезической линией не меняется.

≡=РИС. 3

На рис. 3 изображена сферическая поверхность, на которой демонстрируется описанная процедура параллельного переноса. В результате параллельного переноса «прямой» вдоль окружности на сфере между первичным и конечным векторами возникает угол BETA ≠ 0.

Можно предложить простую «экспериментальную» иллюстрацию параллельного переноса. Проведем краской на плоскости несколько параллельных прямых. Прокатим далее по этой плоскости конус, постулируя отсутствие трения между конусом и плоскостью, в том смысле, что трение не меняет первоначальное направление движения конуса, но достаточно велико, чтобы нанесенные на плоскость прямые отпечатались бы на конусе. Эти отпечатки и будут параллельными на конусе. Относительное положение двух близких отпечатков отражает параллельный перенос на конусе.

Уже упоминалось, что связность отлична от нуля для кривого пространства. Поэтому связность — одна из нескольких характеристик искривления (отклонения от евклидовости) геометрической фигуры.

До сих пор мы придерживаемся сравнительно привычных представлений. Пространства с обычными понятиями «точка» всегда можно хотя бы упрощенно иллюстрировать в виде двумерной поверхности. Сейчас наступило время перейти к расслоенным пространствам. Такой переход связан с некоторой психологической перестройкой. Хотя простейшие расслоенные пространства также можно мысленно представить в виде геометрических фигур, но всегда, когда оперируют с расслоенными пространствами, следует помнить, что они множество пространств, находящихся в неравноправном положении. Одно из них — база — занимает особое место.

Если среди характеристик простых пространств связность занимает рядовое место (одна из нескольких характеристик), то в теории расслоенных пространств обобщенное понятие связности, пожалуй, основная характеристика. Связность в расслоенных пространствах играет ключевую роль: она характеризует отношения между базой и слоями и между соседними слоями.

В общем случае определение связности имеет довольно сложный вид.' Мы здесь ограничимся простым и наглядным примером определения связности и некоторыми важными для физики приложениями.

------------------------------' См. кн.: Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.; Наука, 1979, Т.1. ------------------------------

Вернемся снова к рис. 3. Круг и цилиндр на нем расслоение полусферы, изображенной в верхней его части. Построим на полусфере треугольник, образованный геодезическими линиями — отрезками больших кругов. Разумеется (поскольку сфера — неевклидова поверхность), сумма углов треугольника не равна π. Спроецируем точки треугольника на круг (базу), параллельный основанию полусферы. Прямые, осуществляющие проецирование, будем полагать слоями расслоенного пространства.

Произведем далее операцию параллельного переноса на полусфере вдоль контура треугольника. Поскольку полусфера неевклидова поверхность, то при полном обходе треугольника (возвращение вектора в точку, совпадающую с началом вектора a) между направлениями первичного и конечного векторов (стрелки на рисунке) образуется некоторый угол — связность.

Обобщим это понятие на расслоенное пространство. С этой целью спроецируем треугольник на круг (базу). Прямые, осуществляющие проекцию, — слои пространства. Проекции начального и конечного векторов на полусфере образуют на круге некоторый угол v ≠ 0, который является компонентой связности в базе.

Чтобы определить связность в слоях, введем расстояние от начала слоя (отрезка), которое является, вообще говоря, произвольной точкой отсчета. Важно лишь, чтобы во всех слоях были бы одинаковые точки отсчета. Иначе говоря, любой круг, пересекающий слои и параллельный основанию полусферы, мог бы определить точки отсчета. Естественно (но не необходимо) отождествить точки отсчета с точками круга — базы. Будем далее измерять угол между векторами во время параллельного переноса в произвольных единицах (например, радианах) и откладывать этот угол на прямых — слоях пространства. В результате операции полный обход периметра треугольника на сфере будет соответствовать некоторому подъему величины проекции в слое. Этот подъем определяется смещением векторов в полусфере при возвращении в точку, совпадающую с началом вектора a после полного обхода контура. В пространстве слоев

1 начало обхода на полусфере соответствует точке a|, конец 1 1 1 d| (см. рис. 3). Таким образом, расстояние a|d| характеризует связность в слое.

Расслоение полусферы на круг и линейное пространство одно из простейших расслоений, позволяющих дать наглядную интерпретацию связности расслоенного пространства. В общем случае подобная наглядность утрачивается. Идея введения общего определения связности близка к основной идее дифференциальной геометрии: в малом объеме метрика пространства евклидова или псевдоевклидова. В расслоенных пространствах также постулируется простота пространства в малом. Полагается, что в малом расслоенное пространство можно представить простым произведением, частным случае которого и было расслоение полусферы.