Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

По выражению Германа Вейля, неконструктивные доказательства существования извещают мир о том, что сокровище существует, не указывая при этом его местонахождение, т.е. не позволяя это сокровище использовать. Такие доказательства не могут заменить построение — подмена конструктивного доказательства неконструктивным влечет утрату смысла и значения самого понятия «доказательство». Вейль указал, что приверженцы философии интуиционизма вынуждены отказаться от наиболее важных теорем существования классического анализа. Канторовскую иерархию трансфинитных чисел Вейль считал очень запутанной. Классический анализ, писал Вейль в книге «Континуум» (1918), — это дом, построенный на песке. Уверенным можно быть только в том, что доказано интуиционистскими методами.

Отрицание закона исключенного третьего приводит к возможности появления новых типов неразрешимых высказываний. В бесконечных множествах, как утверждают интуиционисты, возможна третья ситуация: могут существовать высказывания, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Интуиционисты приводили пример такого высказывания. Пусть, по определению, число k характеризуется условием, согласно которому k- e положение в десятичном разложении числа π занимает первый нуль, такой, что за ним по порядку следуют цифры от 1 до 9. По логике Аристотеля, k либо существует, либо не существует, и математики, следуя Аристотелю, исходили в своих рассуждениях лишь из этих двух возможностей. Брауэр и интуиционисты отвергли все рассуждения подобного типа на том основании, что неизвестно, удастся ли нам вообще когда-либо доказать, существует ли число k или не существует. Иначе говоря, по мнению интуиционистов, существуют вполне осмысленные и важные математические проблемы, которые могут оказаться неразрешимыми, какое бы обоснование мы ни подводили под математику . {124}Эти вопросы могут казаться нам разрешимыми только потому, что они касаются понятий и проблем, сходных с теми, которые нам уже приходилось решать в прошлом.

С точки зрения интуиционистов неприемлемы классическое и логическое (аксиоматическое) построения системы вещественных чисел, математический анализ, современная теория функций вещественного переменного, интеграл Лебега и многие другие понятия и теории. Брауэр и его сторонники не ограничивались критикой и пытались построить математику на конструктивной основе. Им удалось спасти некоторые разделы перечисленных выше теорий, но конструктивные варианты отличались такой сложностью, что даже разделявший философию интуиционизма Вейль сетовал по поводу невыносимой громоздкости конструктивных доказательств. Среди прочего интуиционистам удалось перестроить на конструктивной основе элементарные разделы алгебры и геометрии.

Тем не менее перестройка происходила чрезвычайно медленно. И в 1927 г. в статье «Обоснования математики» ([50], с. 365-388; ср. также [50], с. 389-399) Гильберт с полным правом заявил: «Какое значение имеют жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты, которые были выработаны интуиционистами по сравнению с могущественным размахом современной математики!» ([50], с. 383). Разумеется, в 1927 г. интуиционистам, по их же собственным меркам, не удалось продвинуться сколько-нибудь далеко в осуществлении своей программы перестройки классической математики. К сожалению, интуиционисты, как и логицисты, не смогли прийти к единому мнению относительно того, на какой основе производить эту перестройку. Одни считали необходимым исключить все общие теоретико-множественные понятия и ограничиться лишь теми понятиями, которые допускают эффективное определение или построение. Менее экстремистскую позицию занимали конструктивисты, не ставившие под сомнение классическую логику, а стремившиеся как можно полнее использовать ее. {125}Некоторые выделяли определенный класс математических объектов, а затем вводили конструктивные методы. Немало было и тех, кто допускал по крайней мере тот или иной класс вещественных чисел (не охватывавший весь континуум вещественных чисел). Другие допускали лишь целые числа, а из остальных чисел и функций признавали лишь вычислимые. При этом различные группы понимали вычислимость по-разному. Например, число считалось вычислимым, если к нему можно было приближаться со все возрастающей точностью (эффективно определяя точность приближения!), используя допустимые числа из некоторого множества, по аналогии с тем, как к обычным иррациональным числам можно все более точно приближаться с помощью конечных десятичных дробей.

К сожалению, понятие «конструктивность» отнюдь не является ни четким, ни однозначным. Рассмотрим число N, определенное следующим образом:

На время положим p = 3 . Тогда N = 1 − 0,001 = 0,999 . С другой стороны, если p = 2 , то N = 1,01. Пусть теперь p — первый знак в десятичном разложении числа π , следующий после группы цифр 123456789, идущих друг за другом именно в этом порядке; если же такое p вообще не существует, то положим, что N, по определению, равно 1. Если число p существует и четно, то N = 1,000… (на p- м месте после запятой стоит 1). Если число p нечетно, то N = 0,999… ( p девяток после запятой). Однако мы не знаем, существует ли определенное выше число p. Если оно не существует, то N = 1. Если же p существует, но не встречается, например, среди первой тысячи знаков десятичного разложения числа π , то мы не можем даже начать выписывать N. Тем не менее N определено, и его даже можно записать с любойстепенью точности. Но разве определение N конструктивно?

Разумеется, доказательства существования, использующие аксиому выбора или гипотезу континуума, не конструктивны; они неприемлемы не только для интуиционистов, но и для многих математиков, не разделяющих идей интуиционистов.

Хотя разные группы интуиционистов и конструктивистов в чем-то расходились между собой, им все же удалось перестроить значительную часть классической математики. Некоторые из перестроенных на конструктивной основе теоремы оказались более узкими, чем их неконструктивные прототипы. Когда интуиционистам указывали на это, они отвечали, что классический анализ при всей своей несомненной полезности по математической истинности уступает конструктивному анализу. Резюмируя, можно сказать, что конструктивистам удалось добиться лишь весьма ограниченных успехов и что перспективы распространить конструктивистский подход на всю современную математику нельзя считать обнадеживающими. Имея в виду медленный прогресс конструктивистского направления, математики из школы Бурбаки, о которой у нас пойдет речь в дальнейшем, заметили: «Интуиционистская школа, о которой математики вспоминают как о своего рода историческом курьезе, во всяком случае, оказала услугу математике тем, что заставила своих противников, т.е. подавляющее большинство математиков, яснее осознать причины (одни — логического порядка, другие — психологического) их веры в математику» ([68], с. 53). {126}Критики интуиционизма вполне могли бы процитировать четверостишие Сэмуэля Хоффенштейна: