Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

По иронии судьбы, мыслители Века разума, рассматривая математику как пример способности человека мыслить и получать истины, без тени сомнения утверждали, что разум разрешит все человеческие проблемы. Современные мыслители, даже если некоторые из них разделяют веру в могущество разума, заведомо не считают математику эталоном или парадигмой. Такой поворот событий не так далек от интеллектуальной катастрофы. Математика по-прежнему остается самой длительной и последовательной попыткой человека создать точное и эффективное мышление, а достижения математики по-прежнему служат мерилом того, на что способен человеческий разум. Математика устанавливает верхний предел, которого мы можем лишь надеяться достичь во всех рациональных областях. К сожалению, споры относительно того, что такое «настоящая» математика, не прекращаются. Именно поэтому Гильберт так страстно стремился восстановить истинность в смысле объективных, достоверных умозаключений. В его статье 1925 г. «О бесконечном» говорится: «Где же еще искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечки?» ([50], с. 349.)

Озабоченность Гильберта судьбами математики явственно слышится в его докладе «Проблемы обоснования математики» на Международном математическом конгрессе в Болонье (1928):

Что было бы с истинностью наших знаний вообще и как обстояло бы дело с существованием и прогрессом науки, если бы в математике не было достоверной истины? В наше время нередко даже в специальных изданиях и в открытых докладах высказывается сомнение и уныние по поводу науки; это есть в некотором роде оккультизм, который я считаю вредным.

Непрестанные, нескончаемые поиски абсолюта могут показаться менее привлекательными, чем реальное достижение абсолюта, но Гете уже давно усмотрел в этих поисках спасение человеческого рода:

Не будучи столь уверенным в существовании абсолютных истин, один из выдающихся математиков современности Андре Вейль утверждает, что занятия математикой необходимо продолжать, хотя математика теперь уже не то прежнее величественное творение человеческой мысли. Вот что он говорит:

Для нас, чьи плечи ноют под тяжестью наследия греческой мысли, кто идет по стопам героев эпохи Возрождения, цивилизация немыслима без математики. Подобно постулату о параллельности, постулат о том, что математика выживет, утратил свою «очевидность». Но если первый постулат перестал быть необходимостью, то без второго мы жить бы не смогли.

Будущее математики никогда не внушало особых надежд. Природа математики никогда не была вполне понятной. Тонкий анализ очевидного привел к нескончаемой цепи осложнений. Но математика продолжает бороться с проблемами, возникающими в ее основаниях. Как сказал Декарт, «я буду продолжать до тех пор, пока не установлю нечто несомненно истинное или по крайней мере не устраню все сомнения в том, что ничего несомненно истинного не существует».

Если верить Гомеру, боги обрекли царя Коринфа Сизифа на тяжкое наказание после смерти: он должен вкатывать на гору огромный камень; но как только камень почти достигает вершины, он начинает скатываться вниз, к подножию горы. Сизиф не мог питать никаких иллюзий, что его напрасный труд когда-нибудь завершится. Математики почти инстинктивно мобилизуют всю свою волю и мужество, чтобы дополнить и укрепить основания своей науки. Их борьба также может оказаться нескончаемой, а труд — напрасным. Но современные Сизифы не сдаются.

Для получения новых результатов математики могут избрать любое из множества соперничающих направлений. Поскольку внутренних критериев, позволяющих отдать предпочтение одному направлению перед другим или как-то обосновать принятое решение, не существует, математик вынужден при выборе направления руководствоваться внешними соображениями. Наиболее важным из них по-прежнему остается традиционный и наиболее объяснимый довод в пользу создания новой и развития уже существующей математики — ее ценность для других наук. Ставшую ныне очевидной неопределенность в вопросах, связанных с истинными основаниями математики, и зыбкость ее логики можно в какой-то мере игнорировать (хотя и не исключить полностью), если акцентировать внимание на внешних приложениях математики. Последуем же завету Эмерсона и «построим в материи дом для ума». Из априорных соображений невозможно установить, будут ли получаемые математические теоремы непосредственно применимы, или же они, что тоже неплохо, в сочетании с разумными физическими принципами приведут к физически значимым результатам. Приложения служат своего рода практическим критерием, которым мы проверяем математику. Теоремы, приводящие к правильным результатам, с каждым разом можно применять все увереннее. Например, если мы, постоянно используя аксиому выбора, получаем подтверждаемые физическим экспериментом результаты, то сомнения в приемлемости этой аксиомы если и не рассеятся полностью, то по крайней мере уменьшатся.

С исторической точки зрения апелляция к приложениям не означает радикального изменения сути математики, как это может показаться современным блюстителям математической строгости. Математические понятия и аксиомы берут свое начало из наблюдений реального мира. Даже законы логики, как теперь стало ясно, являются не более чем продуктом опыта. Проблематика, обдумывая которую математик приходит к своим теоремам, и даже наводящие соображения, касающиеся методов доказательства теорем, черпаются из того же источника. О ценности, или значимости, результатов, полученных из аксиом, лет семьдесят пять назад судили по пригодности этих результатов для описания реального мира. Почему бы и теперь не судить о правильности математики в целом по тому, насколько хорошо она продолжает описывать и предсказывать природные феномены? Если правильность математики оценивать по ее приложимости к реальному миру, то никакого абсолютного критерия истинности нет и быть не может. Теорема может великолепно сработать в n случаях и дать осечку в (n+1)- м случае. Одно-единственное расхождение с опытом полностью дисквалифицирует теорему. Видоизменяя формулировку теоремы, математики могут прийти (и неоднократно приходили) к поправкам, делающим новый вариант вполне применимым — а значит, «истинным».