Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Нельзя не признать, что абсолютное доказательство не реальность, а цель. К ней следует стремиться, но скорее всего она так никогда и не будет достигнута. Абсолютное доказательство не более чем призрак, вечно преследуемый и неизменно ускользающий. Мы должны неустанно укреплять то доказательство, которым располагаем, не надеясь на то, что нам удастся довести его до совершенства. Мораль всей истории развития математического доказательства сводится к следующему: хотя мы и стремимся к недостижимой цели, нам, возможно, удастся произвести чудесные ценности, которые математике случалось дарить миру в прошлом. Если мы изменим свое отношение к математике, то сможем более эффективно заниматься ею, несмотря на постигшее нас разочарование.

Осознание того, что в обосновании математических истин главную роль играет интуиция, а доказательству отводится лишь вспомогательная роль, означает, что математика в своем развитии описала полный круг. Математика начиналась на интуитивной и эмпирической основе. Начиная с древних греков доказательство стало целью математической деятельности, и, хотя до XIX в. эта цель пребывала в почетной отставке, в конце XIX в. математикам показалось, что они сумели достичь ее. Но попытки довести математическую строгость до пределов возможного завели математиков в тупик: логика нанесла поражение логике, подобно собаке, кусающей себя за хвост. В «Мыслях» Паскаля мы находим следующее признание: «Сила разума в том, что он признает существование множества явлений, ему непостижимых» {170}([119], с. 157).

Кант также признавал ограниченность человеческого разума. В его «Критике чистого разума» есть такие строки:

На долю человеческого разума в одном из видов его познания выпала странная судьба: его осаждают вопросы, от которых он не может уклониться, так как они навязаны ему собственной природой; но в то же время он не может ответить на них, так как они превосходят возможности человеческого разума.

Близкую мысль высказал знаменитый испанский писатель и философ Мигель де Унамуно (1864-1936) в «Трагическом смысле жизни»: «Высшего триумфа разум достигает, когда ему удается заронить сомнение в собственной годности».

Более пессимистических взглядов на роль логики придерживался Герман Вейль. В 1940 г. он утверждал: «Несмотря на наше критическое озарение (а может быть, благодаря ему), мы сегодня менее, чем когда-либо раньше, уверены в основаниях, на которых зиждется математика». В 1944 г. Вейль развил свою мысль подробнее:

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный окончательный ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным.

Как сказал Вейль, математика — это вид умственной деятельности, а не свод точных знаний. Математику лучше всего рассматривать в исторической перспективе. Рациональные конструкции и реконструкции оснований при таком подходе предстают перед нами лишь как попытки исказить историческую правду.

Наиболее крайние взгляды выразил в своей книге «Логика научного исследования» [120] Карл Поппер. Математическое рассуждение никогда не бывает верным, оно может быть только ошибочным. Было бы опрометчивым поручиться и за истинность математических теорем. Существующей математической теорией можно продолжать пользоваться за неимением лучшей, подобно тому как пользовались ньютоновской механикой в течение двух столетий до появления специальной теории относительности или как пользовались евклидовой геометрией до того, как была создана риманова геометрия. Уверенность в правильности математической теории недостижима.

Как свидетельствует история, не существует раз и навсегда заданного, обоснованного единого свода математических знаний. Кроме того, если история позволяет делать какие-то прогнозы, то можно сказать, что любые дополнения к существующей математике потребуют новых оснований. В этом отношении математика схожа с любой из физических наук. Физические теории приходится модернизировать и перестраивать всякий раз, когда новые наблюдения или новые экспериментальные данные вступают в противоречие с ранее установленными теориями и вынуждают формулировать новые. Математическую истину невозможно описать безотносительно ко времени. Все попытки построить математику на незыблемом основании заканчивались неудачей. Непрекращающиеся попытки — от Евклида через Вейерштрасса до современных школ в основаниях — подвести под математику прочный фундамент не дают ни малейшего повода надеяться на эволюционный прогресс, сулящий конечный успех.

Изложенные выше взгляды на роль интуиции и доказательства отражают точку зрения на современную математику, но не учитывают всех мнений о будущем. Взгляд на логику был подтвержден группой французских математиков, выступающих под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки. В предисловии к первому тому «Элементов математики» Бурбаки пишет:

Как показывает анализ исторического развития математики, было бы неверно утверждать, что математика свободна от противоречий; непротиворечивость предстает как цель, к которой следует стремиться, как некое данное богом качество, ниспосланное нам раз и навсегда. С древнейших времен все критические пересмотры принципов математики в целом или любой из ее областей почти неизменно сменялись периодами неопределенности, когда появлялись противоречия и их приходилось решать… Вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в будущее спокойно.

Обращение к истории, возможно, в какой-то степени утешает, но та же история учит, что новые кризисы непременно возникнут. Однако столь мрачная перспектива не охлаждает оптимизма Бурбаки.

Один из ведущих французских математиков, бурбакист, Жан Дьедонне, выразил уверенность в том, что проблемы логики, коль скоро они возникнут, непременно будут разрешены:

Если когда-нибудь будет доказано, что математика противоречива, то скорее всего станет известно, какому правилу следует приписать полученный результат. Отбросив это правило или надлежащим образом видоизменив его, мы избавимся от противоречия. Иначе говоря, математика изменит направление своего развития, но не перестанет быть наукой. Сказанное не просто умозаключение: нечто подобное произошло после открытия иррациональных чисел. Мы далеки от мысли оплакивать это открытие, потому что оно вскрыло противоречие в пифагорейской математике, а, напротив, сегодня мы считаем его одной из великих побед человеческого духа.