Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Впрочем, еще Галилей, исходя из сходных соображений, утверждал, что квадратов начальных чисел имеется столько же, сколько и самих натуральных чисел.

Фундаментом идущей от Кантора «иерархии бесконечностей» является (ныне широкоизвестная и в ряде стран включаемая даже в школьные учебники математики) теорема Кантора — Бернштейна, согласно которой если два множества A и B таковы, что существует взаимно-однозначное соответствие между A и частью (подмножеством) B и между B и частью A , то можно установить также и взаимно-однозначное соответствие между A и B ; таким образом, любые два множества либо «одинаковы» (эквивалентны, равномощны), либо одно из них «больше» другого. Кантор хорошо понимал важность этой теоремы, но доказательство ее долго ему не давалось. О своих затруднениях он сообщил Р. Дедекинду, который познакомил с поставленной Кантором задачей своих студентов, после чего (в первой половине 90-х годов XIX в.) соответствующая теорема была очень быстро доказана совсем еще юным учеником Дедекинда, студентом Гёттингенского университета Феликсом Бернштейном.

Являясь в соответствии с семейной традицией ревностным христианином (лютеранином), Кантор охотно использовал в своих высказываниях религиозные аргументы; но значение соображений такого рода для его научного творчества не было существенным (в литературе оно нередко преувеличивается). Однако с течением времени, когда творческая сила Кантора-математика пошла на убыль, его обращения к теологии стали более частыми.

Автор первого в мировой литературе учебника теории множеств Феликс Хаусдорф (1868-1942) долгие годы был одним из признанных лидеров берлинской математической школы. Его учебник по теории множеств имел два варианта, настолько резко различающиеся между собой, что их вполне можно считать самостоятельными книгами: «Основы теории множеств» ( Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig, Teubner, 1914) и «Теория множеств» ( Mengenlehre. Leipzig, Teubner, 1927). Совершенно самостоятельным произведением мировой математической литературы является русский вариант той же книги [54], в которой редакторы П.С. Александров и А.Н. Колмогоров предприняли (весьма удачную) попытку совместить все достоинства и первого и второго вариантов книги Хаусдорфа, одновременно доработав отдельные части книги, с тем чтобы привести их в соответствие с новейшими достижениями науки. При этом устаревшие разделы «Основ теории множеств» были заменены новым текстом, заимствованным из написанных П.С. Александровым разделов книги [55], которые пришлось несколько переработать, с тем чтобы сохранить стиль Хаусдорфа.

Обычно считают, что русский алфавит содержит 33 буквы (при этом буквы е и ё отождествляются, считаются за одну); поэтому общее число «100-буквенных последовательностей», где каждая буква имеет одно из указанных 33 «значений», равно 100 33. (Разумеется, большинство из составленных таким образом «фраз», разбиение которых на отдельные «слова», если только оно возможно, производится «по смыслу», не будут выражать ничего или не будут описывать никакого числа.)

Сомнения по этому поводу подогревались рядом полностью противоречащих нашей интуиции (или очень сильных и «слишком просто» доказываемых) результатов, получаемых с использованием аксиомы выбора Цермело. Наиболее известна здесь, пожалуй, эффектная работа Ф. Хаусдорфа, результат которой, несколько огрубляя, можно описать так: пусть Ш — обыкновенный шар трехмерного евклидова пространства; Хаусдорф разбивает этот шар на четыре множества I, II, III и IV так, что сложив по-другому множества I и II, мы получим из них шар Ш 1, равный Ш; из множеств III и IV также можно сложить равный Ш шар Ш 2. (Ср. гл. XII).

Можно взять множество с кардинальным числом N 1и рассмотреть множество всех его подмножеств, кардинальное число которого обозначается через 2 N1. Как доказал Кантор, 2 N1 > N 1. Можно предположить, что 2 N1= N 2и что 2 N n = N n+1 . Такое предположение называется обобщенной гипотезой континуума.

Вариант гипотезы континуума, приведенный в скобках, не требует обращения к аксиоме выбора.

Сегодня это различие отражается в существовании двух разных символов: (например, x A ) и ( B A ), используемых уже и в школьных учебниках математики.

Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1983, c. 400.

Мы уже указывали на своеобразный характер религиозности Лейбница, для которого бог играл роль гаранта истинности логики, но, «создав однажды» Вселенную, далее никак не вмешивался в ее функционирование. (Разумеется, Лейбниц и не подозревал, что возможных логических систем существует много; осознание этого обстоятельства заставило бы его полностью пересмотреть всю свою религиозно-философскую систему.)

Рассчитанное на самого широкого читателя изложение взглядов А. Уайтхеда (а частично и Б. Рассела) на математику можно найти в (к сожалению, сейчас уже труднодоступной) книге [57].

Создатель современной алгебраической структуры математической логики Дж. Буль в качестве основных операций над высказываниями использовал конъюнкцию и исключающую дизъюнкцию (которую сегодня чаще называют «симметрической разностью» высказываний p и q ).

Здесь терминология (и символика) авторов «Оснований математики» несколько расходится с принятой в нашей литературе. Следует различать (бинарное) отношение следования между высказываниями, которое может иметь или не иметь место (в абстрактной форме — подмножество декартова квадрата Ρ×Ρ , где Ρ — множество высказываний; отношение «из p следует q » записывают как p q , но иногда и наоборот — как p q ), и импликацию — (бинарную) операцию алгебры высказываний, сопоставляющую двум высказываниям p и q третье высказывание p q , которое, как и любое, высказывание, может быть истинным или ложным; при этом истинность импликации p q равносильна тому, что (в обозначениях Рассела — Уайтхеда) p q.