Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Заканчивая это (по необходимости несколько затянувшееся) предисловие, я хотел бы выразить надежду, что читатель получит удовольствие от предлагаемой ему книги — не во всех отношениях бесспорной, но безусловно яркой и очень интересной по содержанию.

И.М. Яглом

Эта книга — о глубоких изменениях, которые претерпели взгляды человека на природу и роль математики. Ныне мы знаем, что математика не обладает теми качествами, которые некогда снискали ей всеобщее уважение и восхищение. Наши предшественники видели в математике непревзойденный образец строгих рассуждений, свод незыблемых «истин в себе» и истин о законах природы. Главная тема этой книги — рассказ о том, как человек пришел к осознанию ложности подобных представлений и к современному пониманию природы и роли математики. Краткий обзор избранной темы содержится уже во введении. Отдельные разрозненные факты можно было бы собрать воедино, если проследить историю математики во всех деталях. Но тем, кого интересует главным образом разительные перемены, происшедшие в наших взглядах на природу и роль математики, более доступен и понятен прямой подход, свободный от второстепенных частностей и тем самым позволяющий выделить общие идеи.

Возможно, многие математики предпочли бы вести откровенный разговор о современном статусе своей науки в узком кругу профессионалов. Публичное обсуждение возникающих трудностей они считают таким же проявлением дурного вкуса, как разглашение перед посторонними семейных тайн. Но мыслящие люди должны отчетливо сознавать сильные и слабые стороны тех средств, которыми они располагают. Ясное понимание ограниченности (равно как и возможностей) того или иного подхода приносит несравненно больше пользы, чем слепая вера, способная исказить наши представления или даже привести нас к краху.

Я хотел бы поблагодарить сотрудников издательства «Оксфорд юниверсити пресс» за внимательное отношение к этой книге и выразить особую признательность Уильяму Ч. Халпину и Шелдону Майеру за понимание важности популярного изложения затронутых мной проблем, а также Леоне Кейплесс и Кертиссу Черчу за ценные замечания и критику. Моей жене Элен я обязан многочисленными исправлениями, внесенными ею при чтении рукописи и корректуры.

Пользуясь случаем, я хотел бы поблагодарить Математическую ассоциацию США за разрешение использовать в книге материалы из статей издаваемого ею журнала The American Mathematical Monthly («Американский математический ежемесячник»).

М. Клайн

Бруклин, штат Нью-Йорк

Январь 1980 г.

Одни трагедии порождают войны, голод, чуму, другие — в мире идей — вызваны ограниченностью человеческого разума. Эта книга — горестный рассказ о бедствиях, выпавших на долю математики — наиболее древнего и не имеющего себе равных творения людей, плода их неустанных и многообразных усилий, направленных на использование способности человека мыслить.

Можно также сказать, что эта книга на общедоступном уровне повествует о расцвете и закате величия математики. Позволительно спросить: уместно ли говорить об упадке математики в наше время, когда ее границы необычайно расширились, когда научная деятельность в области математики ведется во все возрастающих масштабах и достигла небывалого расцвета, когда ежегодно публикуются тысячи работ по математике, все большее внимание привлекают вычислительные машины и когда поиск количественных соотношений захватывает все новые области, особенно в биологических и социальных науках? В чем причина трагедии? Прежде чем ответить на эти вопросы, следует напомнить, какие достижения математики снискали ей высочайший престиж, всеобщее признание и славу.

С самого зарождения математической науки как самостоятельной отрасли знания (у колыбели которой стояли древние греки) и на протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поиском истины и добились на этом пути выдающихся успехов. Необозримое множество теорем о числах и фигурах, казалось, служило неисчерпаемым источником абсолютного знания, которое никогда и никем не может быть поколеблено.

За пределами самой математики математические понятия и выводы явились фундаментом замечательных научных теорий. И хотя новые факты устанавливались в результате сотрудничества математики и естествознания, опирающегося на данные, имеющие нематематический, скажем физический, характер, они казались столь же непреложными, как и принципы самой математики, потому что предсказания, которые делались на основе математических теорий в астрономии, механике, оптике и гидродинамике, необычайно точно совпадали с данными наблюдений и экспериментов. Математика давала ключ к глубокому постижению явлений природы, к пониманию, заменявшему тайну и хаос законом и порядком. Человек получил возможность с гордостью взирать на окружающий мир и заявлять, что ему удалось раскрыть многие тайны природы, по существу оказавшиеся серией математических законов. Убеждением в том, что истины открывают математики, проникнуто известное высказывание Лагранжа: «Ньютон был счастливейшим из смертных, ибо существует только одна Вселенная и Ньютон открыл ее законы».

Для получения своих удивительных, мощных результатов математика использовала особый метод — метод дедуктивных выводов из небольшого числа самоочевидных принципов, называемых аксиомами; этот метод знаком каждому школьнику — прежде всего из курса геометрии. Природа дедуктивного вывода такова, что она гарантирует истинность заключения, если только истинны исходные аксиомы. Очевидная, безотказная и безупречная логика дедуктивного вывода позволила математикам извлечь из аксиом многочисленные неоспоримые и неопровержимые заключения. Эту особенность математики многие отмечают и поныне. Всякий раз, когда нужно привести пример надежных и точных умозаключений, ссылаются на математику.