Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Природу производной легче всего понять, если представить ее как скорость(именно так поступил Ньютон). Если тело преодолевает расстояние 20 м за 4 с, то его средняя скорость равна 5 м/с, а если тело движется равномерно, то его средняя скорость на протяжении 4 с совпадает с мгновенной, т.е. со скоростью в любой данный момент. Однако движения чаще всего неравномерны. Тело, падающее на Землю, снаряд, вылетевший из пушки, планета, обращающаяся вокруг Солнца, — все движутся неравномерно: их скорость непрерывно меняется. Во многих случаях необходимо знать значения скорости движения в разные моменты времени. Например, жизненно важно знать, с какой скоростью пуля долетает до человека; если эта скорость близка к 0 м/с, то на землю упадет пуля, тогда как при скорости порядка 300 м/с на землю падает человек. По самому своему смыслу момент времени есть не что иное, как «нулевой промежуток» времени, а за нулевое время тело, разумеется, проходит равное нулю расстояние. Следовательно, если бы мы решили вычислять мгновенную скорость так, как вычисляют среднюю скорость, т.е. деля пройденное расстояние на требующееся для его прохождения время, то получили бы выражение 0/0, а такое отношение смысла не имеет.

Выход из создавшегося затруднения, который промелькнул в сознании математиков XVII в., но не был уяснен ими до конца, состоит в следующем. Предположим, что требуется вычислить скорость, которую приобретает свободно падающее тело ровно через 4 с после начала падения. Выбрав любой конечный промежуток времени (в отличие от нулевого промежутка — момента времени), в течение которого тело падает, и разделив на него расстояние, пройденное телом за это время, мы получим среднюю скорость за выбранный промежуток времени. Вычислим теперь среднюю скорость за промежутки времени, следующие за 4-й секундой и имеющие продолжительность 1/ 2, 1/ 4, 1/ 8, … с. Ясно, что, чем меньше промежуток времени, тем ближе средняя скорость к мгновенной скорости тела через 4 с после начала падения. По-видимому, нам остается лишь вычислить средние скорости и посмотреть, к какой величине они стремятся. Эта величина и определяет мгновенную скорость, которой тело достигает к концу 4-й секунды свободного падения. Предложенная схема кажется достаточно разумной, хотя и таит в себе, как мы увидим в дальнейшем, некоторые сложности. Как бы то ни было, скорость к концу 4-й секунды свободного падения, если она вычислима, называется производной функции d = 4,9t 2 при t = 4.

Трудности, связанные с определением производной, станут более понятными, если от словесного описания производной перейти на язык символов. Математическое определение производной, которое, по существу, и было в конце концов принято, принадлежит Ферма. Вычислим скорость, приобретаемую через 4 с после начала свободного падения мячом, движение которого описывается функцией

d = 4,9 t 2. (1)

При t = 4 получаем: d = 4,9∙4 2= 78,4 м. Пусть h — приращение времени. За время (t + h) с мяч пролетит в свободном падении расстояние 78,4 м плюс некоторое дополнительное расстояние k. Следовательно,

78,4 + k = 4,9 (4 + h ) 2= 4,9(16 + 8 h + h 2),

или

78,4 + k = 78,4 + 39,2 h + 4,9 h 2.

Вычтем из правой и левой частей последнего равенства по 78,4:

k = 39,2 h + 4,9 h 2.

Итак, средняя скорость за время h с свободного падения равна

k/h = (39,2 h + 4,9 h 2)/h. (2)

При рассмотрении этой простой функции и других функций Ферма повезло: числитель и знаменатель правой части ему удалось разделить на h, получив

k/h = 39,2 + h . (3)

Затем Ферма положил приращение h равным нулю и получил, что скорость тела через 4 с после начала свободного падения такова:

d ∙ = 39,2 м/с. (4)

(d ∙ — обозначение производной, предложенное Ньютоном). Итак, d ∙ — производная от d = 4,9t 2 при t = 4 .

Против предложенного Ферма метода вычисления производной можно возразить, указав, что приращение h должно быть отлично от нуля, ибо выполнение таких операций, как деление числителя и знаменателя на h, возможно только при h, отличном от нуля. Но тогда и равенство (3) справедливо только при h, отличном от нуля. Следовательно, мы не можем полагать в (3) значение h равным нулю и делать из этого предположения какие бы то ни было выводы. Кроме того, в случае такой простой функции, как d = 4,9t 2, соотношение (2) после сокращения правой части на h переходит в соотношение (3). В случае же более сложных функций нам пришлось бы иметь дело с выражением типа (2). При h = 0 правая часть (2), выражающая предельное значение средней скорости k/h, обращается в неопределенность 0/0.

Ферма никогда не занимался обоснованием своего метода, и, хотя он по праву может быть назван одним из создателей математического анализа, ему не удалось продвинуться здесь особенно далеко. Он был достаточно осторожен, чтобы пытаться формулировать общие теоремы, если сознавал, что какая-либо идея не обоснована им полностью. {77}Ферма довольствовался тем, что предложил правильный алгоритм, которому смог дать геометрическую интерпретацию, и надеялся, что когда-нибудь удастся найти полное геометрическое обоснование предложенного им метода.

Второе понятие математического анализа, доставившее немало хлопот его создателям, — (определенный) интеграл — встречается, например, при вычислении площадей фигур, ограниченных целиком или частично кривымилиниями, объемом тел, ограниченных изогнутыми поверхностями (не плоскостями!), а также центров тяжести тел различной формы. Чтобы понять, какого рода трудности встречаются при использовании понятия определенного интеграла, рассмотрим вычисление площади криволинейной трапеции.

Предположим, требуется найти площадь криволинейной трапеции DEFG (рис. 6.1), ограниченной дугой FG кривой, задаваемой уравнением y = x 2, отрезком DE оси x и вертикальными отрезками DG и EF. В этом случае, как и при вычислении производной, мы хотим найти интересующую нас величину методом все более точных последовательных приближений. Нечто подобное предприняли математики XVII в.

Рис. 6.1.Криволинейная трапеция DEFG.

Разобьем отрезок DE на три равные части (каждая длиной h ) и обозначим точки разбиения через D 1, D 2, и D 3 (точка D 3 совпадает с точкой E, рис. 6.2). Пусть y 1, y 2, и y 3 — ординаты в точках разбиения. Тогда y 1h, y 2h, и y 3h — площади трех прямоугольников, изображенных на рис. 6.2, а

y 1h + y 2h + y 3h (5)

— сумма площадей этих трех прямоугольников, являющаяся некоторым приближением к площади DEFG.