Морис Клайн - Математика. Утрата определенности.

Идеи, в общих чертах намеченные Расселом в «Принципах математики», были подробно развиты им совместно с Алфредом Hopтом Уайтхедом {110}(1861-1947) в трехтомном труде «Основания математики» ( Principia Mathematica [95]*, 1-е изд. — 1910-1913 гг.). Так как именно в этом фундаментальном труде содержался окончательный вариант изложения позиции логистической школы, ознакомимся хотя бы бегло с его содержанием.

Авторы начинают с построения самой логики. Они тщательно формулируют аксиомы логики и выводят из них теоремы, используемые в последующих рассуждениях. Как и подобает любой аксиоматической теории (гл. VIII), построение логики начинается с неопределяемых понятий. Назовем некоторые из них: понятие элементарного высказывания, присвоение элементарному высказыванию значения истинности, отрицание высказывания, конъюнкция и дизъюнкция двух высказываний, понятие пропозициональной функции.

Рассел и Уайтхед снабдили неопределяемые понятия пояснениями, хотя и подчеркнули, что эти пояснения не входят в логическое построение теории. Под высказыванием и пропозициональной функцией они понимали то же, что и Пирс. Например, «Джон — человек» — высказывание, « x — человек» — пропозициональная функция. Под отрицанием понималось высказывание «Неверно, что …», в котором многоточием обозначено отрицаемое высказывание; так, если p есть высказывание «Джон — человек», то под его отрицанием, обозначаемым символом ~p, понимается высказывание «Неверно, что Джон — человек» или «Джон не человек». Под конъюнкцией двух высказываний p и q, обозначаемой p ∙ q, Рассел и Уайтхед понимали составное высказывание « p и q », а под дизъюнкцией p и q, обозначаемой p\/q, — составное высказывание « p или q ». Смысл связки «или» здесь такой же, как в объявлении «Обращаться по телефону 22-22-38 или 22-22-39», означающем, что обращаться можно либо по телефону 22-22-38, либо по телефону 22-22-39, но можно и по тому, и по другому (неисключающее «или»). В предложении «Это лицо — мужчина или женщина» связка «или» имеет иной, более привычный, смысл: либо мужчина, либо женщина, но, разумеется, никак не мужчина и женщина одновременно (исключающее «или»). Математики используют «или» в первом (неисключающем) смысле, хотя иногда «или» употребляется только во втором смысле. {111}Например, в предложении «Треугольник ABC — равнобедренный или четырехугольник PQRS — параллелограмм» связка «или», как правило, неисключающая, а в предложении «Каждое отличное от нуля вещественное число положительно или отрицательно» связка «или» исключающая — ведь имеющиеся у нас дополнительные сведения о положительных и отрицательных числах говорят нам, что одно и то же число не может быть одновременно и положительным, и отрицательным. Итак, в «Основаниях математики» высказывание « p или q » означает, что p и q оба истинны, или что p ложно, a q истинно, или что p истинно, a q ложно.

Наиболее важное отношениемежду высказываниями — отношение следования, или импликация, означающая, что из истинности одного элементарного высказывания вытекает истинность другого. {112}В работе Рассела и Уайтхеда импликация обозначается символом ; при этом под записью (импликацией) p q (« p влечет q » или «из p следует q ») они понимают примерно то же, что Фреге понимал под материальной импликацией (гл. VIII): утверждение « p влечет q » (из p следует q ) означает, что если p истинно, то и q обязано быть истинным, а если p ложно, то q может быть истинно или ложно, т.е. из ложного высказывания следует все что угодно. Такое понятие следования (импликации) высказываний, по крайней мере в некоторых случаях, представляется вполне естественным. Например, если верно, что a — четное число, то и число 2a должно быть четным. Но если не верно, что a — четное число, то 2a может быть как четным, так и нечетным (в случае, если a не целое, скажем дробное, число). Иначе говоря, если высказывание « a — четное число» ложно, то из него может следовать любое заключение.

Разумеется, для того чтобы выводить логические теоремы, необходимо перечислить аксиомы логики. Приведем примеры нескольких таких аксиом:

A) Любое следствие истинного элементарного высказывания {113}является истинным.

B) Если истинно высказывание «истинно p или q », то p истинно.

C) Если q истинно, то « p или q » истинно.

D) Высказывание « p или q » влечет за собой высказывание « q или p ».

E) Из « p или ( q или r )», следует « q или ( p или r )».

Сформулировав аксиомы, Рассел и Уайтхед приступили к выводу теорем логики. Обычные правила силлогистики Аристотеля (см., например, [58] и [59]) вошли в систему «Оснований математики» как теоремы.

Чтобы лучше понять, каким образом логика была формализована и сделана дедуктивной, рассмотрим несколько первых теорем из «Оснований математики» Рассела и Уайтхеда. Одна из теорем утверждает: если из предположения об истинности высказывания p следует, что p ложно, то p ложно. Это не что иное, как принцип reductio ad absurdum (приведения к абсурду, основа доказательства от противного). Другая теорема гласит: если r следует из q, то при условии, что q следует из p, r следует из p. (Это один из силлогизмов Аристотеля.) Основная теорема начальной части «Оснований математики» — принцип исключенного третьего: если p — любое высказывание, то p либо истинно, либо ложно.

Построив логику высказываний, авторы приступили к пропозициональным функциям. Последние представляют собой классы, или множества: вместо того чтобы называть элементы класса «поштучно», пропозициональная функция указывает их отличительное свойство. Например, пропозициональная функция « x красный» задает множество всех красных предметов. Такой способ задания класса позволяет определять бесконечные множества с такой же легкостью, как и конечные. Определение класса по отличительному признаку называется интенсиональным (или дискретным ) в отличие от экстенсиональных (прямых) определений, перечисляющих элементы множества.

Рассел и Уайтхед, разумеется, стремились избежать парадоксов, возникающих в тех случаях, когда определяемое множество содержит само себя в качестве элемента. Эту проблему они разрешили, введя требование: «То, что содержит все элементы множества, не должно быть элементом того же множества». Чтобы удовлетворить этому требованию, Рассел и Уайтхед ввели теорию типов.