Морис Клайн - Математика. Поиск истины.

s = 4,9 t 2, (3)

где s — расстояние в метрах, пройденное телом при свободном падении, t — продолжительность падения (в секундах). Например, за 3 с свободно падающее тело проходит расстояние 4,9×3 2= 44,1 м.

Если обе части формулы (3)разделить на 4,9, а затем извлечь из них квадратные корни, то окажется, что время t, за которое свободно падающее тело проходит путь s, задается формулой t = √ s/ 4,9 . Обратите внимание на то, что масса падающего тела в эту формулу не входит. Таким образом, мы видим, что все свободно падающие тела за равное время проходят одинаковое расстояние. Считается, что к такому заключению Галилей пришел, сбрасывая тела различной массы с Пизанской башни. Однако многие люди до сих пор с трудом верят в то, что кусочек свинца и легкое перышко, если их сбросить с одинаковой высоты в откачанном до глубокого вакуума баллоне, одновременно упадут на дно.

Ускорение 9,8 м/с 2, с которым на Земле движутся все свободно падающие тела, обусловлено силой земного тяготения, или гравитацией. Когда говорят о силе тяжести (точнее ее численной величине) применительно к предметам, находящимся вблизи поверхности Земли, ее обычно называют весом. Хотя сам Галилей не связывал между собой вес и массу, следует заметить, что вес P любого тела на Земле пропорционален его массе m . Численное значение коэффициента пропорциональности g зависит от выбора единиц. Таким образом, вес P и масса m любого тела на Земле связаны между собой соотношением

P = gm . (4)

Как видим, два различных свойства тела — вес и масса — связаны между собой очень просто: вес P в g раз больше массы m . Простота и неизменность соотношения (4)приводят к тому, что мы часто путаем эти два свойства, хотя вес и массу тела необходимо четко различать. Масса — это свойство тел сопротивляться изменению скорости как по величине, так и по направлению, вес — численное значение силы, с которой Земля притягивает данное тело. Если тело покоится на гладкой горизонтальной поверхности, то поверхность противодействует силе тяжести. Следовательно, если рассматривать движение тела по поверхности (без трения), то его вес особой роли не играет. Но масса тела весьма существенна. В следующей главе мы увидим, сколь важно проводить различие между массой и весом.

Декарту, философу глубокому и весьма авторитетному, мы обязаны тем, что начиная с XVII в. математика вышла на передний край науки, и это позволило человечеству открыть особенности многих явлений природы, которые, не будь математики, так и остались бы неизвестными.

Мы могли бы рассказать о многих конкретных математических достижениях Галилея, например о предложенном им математическом описании движения свободно падающего тела, но для нас наибольший интерес представляет его методология. Своей работой «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» (1638) Галилей направил физическую науку по математическому пути, заложил основы современной механики и создал прообраз современной научной мысли. Как мы далее увидим, Ньютон, восприняв методологию Галилея, дал непревзойденные доказательства ее эффективности.

В 1642 г., в год смерти Галилея, на ферме близ небольшой английской деревушки, у одной незадолго до того овдовевшей женщины родился недоношенный ребенок. Несмотря на столь неблагоприятные обстоятельства рождения и здоровье, столь слабое, что мать всерьез опасалась за жизнь ребенка, Исаак Ньютон (1642-1727) дожил до восьмидесяти пяти лет и снискал славу одного из величайших представителей рода человеческого. Как мы увидим в дальнейшем, Ньютон в своей работе по существу следовал методологии Галилея, продолжая и развивая ее. Как заметил однажды Алфред Норт Уайтхед, «Галилей знаменует первый приступ, Ньютон — окончательную победу».

Если не считать ярко выраженного интереса к механическим устройствам, Ньютон не подавал особых надежд в юности. Поскольку он не проявлял никакого интереса к сельскому хозяйству, мать отправила его в Кембридж, и в 1661 г. он поступил в Тринити-колледж (колледж св. Троицы). Хотя пребывание в стенах прославленного колледжа давало его воспитанникам определенные преимущества, например возможность изучать труды Декарта, Коперника, Кеплера, Галилея или слушать лекции знаменитого математика Исаака Барроу, Ньютон, насколько можно судить, извлек немного пользы из учебы. Он был слаб в геометрии и даже подумывал заняться изучением права вместо натурфилософии. Четыре года обучения завершились столь же незаметно, как и начались.

В год, когда Ньютон окончил колледж в Лондоне, в его округе разразилась эпидемия чумы. Кембриджский университет был закрыт. Ньютону не оставалось ничего другого, как уединиться в тиши родительского дома в Вулсторпе, где он провел безвыездно 1665-1666 гг. В этот период он начал свои работы по механике, математике и оптике, завершившиеся триумфальным успехом. Ньютон осознал, что открытый им закон всемирного тяготения дает ключ ко всей механике; он разработал также общий метод решения задач математического анализа и, проведя серию экспериментов, совершил эпохальное открытие, установив, что белый солнечный свет включает в себя все цвета радуги от красного до фиолетового. Сам Ньютон-впоследствии так охарактеризовал этот период: «Я был в то время в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо после» ([20], с. 31-32).

В 1667 г. Ньютон возвратился в Кембридж, где был избран членом совета Тринити-колледжа. В 1669 г. Исаак Барроу оставил свой пост главы кафедры математики, целиком посвятив себя теологии, и Ньютон занял его место. Судя по всему, Ньютон не был хорошим преподавателем. Очень немногие студенты посещали его лекцйи, и никто не отмечал особой оригинальности в его преподавании.

В 1684 г. по настоянию своего друга Эдмонда Галлея (1656-1742), астронома, в честь которого названа комета (комета Галлея), Ньютон занялся подготовкой к публикации своей работы по тяготению. Галлей взял на себя редактирование первого издания и значительную часть издержек. В 1687 г. классическое произведение Ньютона «Математические начала натуральной философии» (часто называемое для краткости просто «Начала») вышло из печати.

После этой публикации имя Ньютона обрело широкую известность. При его жизни «Начала» выдержали три издания. Появились и популярные изложения этого труда. Популяризация и в самом деле была необходима, так как «Начала» весьма трудны для чтения и далеко не все в этом сочинении понятно непосвященному, хотя издатели неоднократно утверждали обратное. Почти сто лет понадобилось величайшим математикам, чтобы довести до полной ясности ньютоновские «Начала».