Морис Клайн - Математика. Поиск истины.

Но коль скоро Земля силой своего тяготения может заставить Луну обращаться вокруг нее, то и Солнце силой своего тяготения могло бы заставить планеты обращаться вокруг него. Поэтому у Ньютона были некоторые основания надеяться на успех дерзкого замысла: доказать, что та же самая сила, которая притягивает тела к Земле, заставляет Луну обращаться вокруг Земли и планеты вокруг Солнца.

Все рассуждения Ньютона, о которых мы упоминали до сих пор, были чисто качественными и умозрительными. И чтобы сделать решительный шаг вперед, необходимо было придать им количественный характер. Продолжая рассуждать о действующей на Луну силе земного притяжения, Ньютон пишет дальше:

Если бы эта сила была меньше соответствующей этой орбите, то отклоняла бы Луну от прямолинейного пути недостаточно, а если больше, то она отклоняла бы ее больше, чем следует, и приблизила бы ее от орбиты к Земле. Следовательно, надо, чтобы эта сила была в точности надлежащей величины. Дело математиков найти такую силу, которая в точности удерживала бы заданное тело в движении по заданной орбите с данной скоростью, и наоборот, найти тот криволинейный путь, на который заданною силою будет отклонено тело, вышедшее из заданного места с заданной скоростью.

Рассуждение Ньютона, с помощью которого он показывает, что одна и та же формула применима и к земным, и к небесным телам, ныне считается классическим. Мы приведем здесь его в несколько упрощенном виде, который тем не менее правильно передает самую суть. Орбиту Луны приближенно можно считать окружностью. Так как Луна (рис. 27) движется не по прямой MP , ее, очевидно, притягивает к Земле какая-то сила. Если MP — расстояние, которое Луна проходит за 1 с в отсутствие силы тяготения, то РМ' — расстояние, на которое Луна смещается к Земле за ту же секунду под действием силы тяготения. Ньютон принял расстояние РМ' за меру силы, с которой Земля притягивает Луну. Соответствующая величина для тела, находящегося вблизи поверхности Земли, составляет примерно 9,8 м; если тело выпустить из рук, то под действием земного тяготения оно за первую секунду пройдет расстояние, равное 9,8 м. Ньютон вознамерился показать, что одна и та же сила заставляет Луну проходить за 1 с расстояние РМ' а тело вблизи поверхности Земли пролетать в свободном падении 9,8 м.

Рис. 27.

Приближенные оценки привели его к мысли, что сила притяжения между телами зависит от квадрата расстояния между центрами тел и что с увеличением расстояния эта сила убывает. Расстояние между центром Луны и центром Земли примерно в 60 раз больше радиуса Земли. Следовательно, на Луну Земля действует в 60 2раз слабее, чем на тело, находящееся вблизи земной поверхности, т.е. сила действия Земли на Луну составляет 1/(60) 2от той силы, с которой она притягивает земные тела. Но это означает, что под действием земного притяжения Луна должна приближаться к Земле за 1 с на расстояние, равное 9,8/(60) 2= 0,0027 м. Произведя некоторые численные тригонометрические расчеты, Ньютон обнаружил, что Луна действительно притягивается Землей силой «в точности надлежащей величины». Тем самым он получил весьма убедительное подтверждение своей гипотезы: все тела в мире притягиваются друг к другу по одному и тому же закону.

Более тщательные исследования Ньютона показали, что сила тяготения, действующая между любыми двумя телами, определяется формулой

F = kMm / r 2, (1)

где F — сила тяготения, M и m — массы тел, r — расстояние между ними, коэффициент k одинаков для всех тел. Например, M может означать массу Земли, m — массу какого-либо тела, находящегося вблизи поверхности Земли. В этом случае r — расстояние от центра Земли до тела. Формула (1)выражает закон тяготения.

Чтобы подвести прочную основу под все свое грандиозное исследование земных и небесных движений, Ньютон сформулировал в своих «Началах» три закона движения, известные ныне как законы Ньютона (хотя первые два закона были сформулированы еще Декартом и Галилеем). Первый закон Ньютона:

Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние.

Второй закон Ньютона:

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Результирующую всех действующих на тело сил можно представить в виде произведения массы тела на ускорение, создаваемое этой силой:

F = ma.

Ускорение характеризует увеличение или уменьшение скорости тела либо изменение ее направления. (Математически F и a — векторы.)

Третий закон Ньютона:

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.

К этим трем законам Ньютон добавил закон всемирного тяготения (1). Применительно к движениям планет этот закон был открыт Робертом Гуком, но Ньютон обобщил его и возвел в ранг универсального закона, применимого ко всем телам во Вселенной.

Получив некоторые подтверждения справедливости закона всемирного тяготения, Ньютон показал далее, что этот закон применим к движениям на поверхности Земли или вблизи нее. И здесь ему помогли труды Галилея. Перейдем на язык формул. Пусть M — масса Земли, m — масса тела, находящегося вблизи земной поверхности. Записав формулу (1)в виде F = kMm/r 2 и разделив обе части на m , получим

F / m = kM / r 2. (2)

Независимо от того, какое тело вблизи поверхности Земли мы рассматриваем, величины, входящие в правую часть формулы (2), остаются неизменными, так как r — радиус Земли (~6400 км), M — масса Земли, а постоянная k одинакова для всех тел.

Но второй закон Ньютона утверждает, что любая сила, действующая на тело массой m , сообщает этому телу ускорение. В частности, сила притяжения Земли, действующая на тело, также сообщает ему ускорение. Из второго закона Ньютона следует, что любая сила F связана с вызванным ею ускорением соотношением F = ma , или

F/m = a . (3)

Следовательно, если сила F в формуле (2)есть сила земного тяготения, то правые части формул (2)и (3)можно приравнять, так как левые части равны. В результате получаем

а = kM / r 2.

Это соотношение означает, что ускорение, сообщаемое телу силой земного тяготения, всегда равно kM/r 2 . Поскольку k — постоянная, M — масса Земли, r — расстояние от тела до центра Земли, величина kM/r 2 одинакова для всех тел, находящихся вблизи поверхности Земли. Следовательно, все тела вблизи поверхности Земли падают с одинаковым ускорением. Именно к такому выводу пришел на основании своих опытов Галилей. Более того, опираясь на этот результат, Галилей математически доказал, что все тела, падающие с одинаковой высоты, достигают поверхности Земли за одно и то же время. Ускорение свободного падения, которое принято обозначать буквой g , легко измерить: оно равно 9,8 м/с 2.