Морис Клайн - Математика. Поиск истины.

Ньютон также считал, что и кометы должны двигаться по эллиптическим орбитам, и побудил Эдмонда Галлея заняться теорией комет. Галлей собрал данные о кометах, которые наблюдались в прошлом. Он высказал предположение, что кометы, зарегистрированные в 1531, 1607 и 1682 гг., на самом деле одна и та же комета. Применив теорию Ньютона, Галлей предсказал, что следующее прохождение той же кометы произойдет в конце 1758 г. или в начале 1759 г. Комета (позднее названная именем Галлея) действительно появилась под Рождество 1758 г., а ближайшую к Солнцу точку своей орбиты прошла 13 марта 1759 г. Ее наблюдали также в 1910 г. {6} Период кометы Галлея варьируется из-за возмущений, вносимых в ее движение притяжением планет.

Однако Ньютон не располагал доказательством того, что все наблюдаемые нерегулярности в движениях Луны и планет обусловлены действием сил тяготения, как не смог он объяснить и устойчивость Солнечной системы (казалось бы, совместное действие подобных факторов должно со временем разрушить ее). Преемники Ньютона уже в XVIII в. продолжили исследование нерегулярностей в движениях планет Солнечной системы.

Орбита, по которой планета обращается вокруг Солнца, как знал еще Ньютон, была бы эллипсом лишь в том случае, если бы не существовало других планет. Но в Солнечной системе их девять, и многие из них имеют свои естественные спутники, и все они не только обращаются вокруг Солнца, но и притягиваются друг к другу в соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона. Следовательно, их орбиты не могут быть идеально эллиптическими. Чтобы определить точные орбиты планет, пришлось бы решить общую задачу многих тел, т.е. оценить движение любого числа тел, каждое из которых, согласно закону всемирного тяготения, притягивает все остальные. Однако задача многих тел и поныне не поддается решению. Тем не менее двум выдающимся математикам XVIII в. удалось существенно продвинуться по пути, указанному Ньютоном.

Родившийся в Италии француз Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) со свойственным молодости бесстрашием взялся за решение математической задачи о движении Луны под действием притяжения Солнца и Земли и добился успеха, когда ему было двадцать восемь лет. Лагранж установил, что изменения видимой части Луны обусловлены экваториальными выпучиваниями Земли и Луны. Кроме того, ему удалось показать, что силы притяжения, действующие на Землю со стороны Солнца и Луны, вызывают довольно значительные колебания в положении земной оси. Таким образом, выяснилось, что периодические изменения в направлении оси вращения Земли — замеченные наблюдателями еще в античные времена — являются следствием закона всемирного тяготения, установленным теперь математическим путем.

Еще один важный шаг Лагранж сделал в математическом анализе движения спутников Юпитера. Проведенные им вычисления показали, что наблюдаемые возмущения также обусловлены действием гравитации. Результаты своих исследований Лагранж изложил в «Аналитической механике» (1788) — труде, в котором были обобщены и формализованы достижения Ньютона в механике. Лагранж как-то пошутил, что Ньютон счастливейший из смертных, ибо существует лишь одна Вселенная и Ньютон открыл ее математические законы. Однако самому Лагранжу выпала честь продемонстрировать миру совершенство теории Ньютона.

Следствия, выведенные Лагранжем из законов Ньютона, были в дальнейшем приумножены его современником и соотечественником Пьером Симоном Лапласом (1749-1827), не уступавшим Лагранжу по силе математического дарования. Лаплас не оставлял без внимания ни одну математическую идею, которая могла бы способствовать познанию природы. Лаплас всю свою жизнь посвятил астрономии, и какой бы областью математики он ни занимался, свою конечную цель всегда видел в том, чтобы применить математические методы в астрономии. Известно, что в своих работах Лаплас нередко опускал трудные математические детали, ограничиваясь замечанием: «Нетрудно видеть, что…» Истинная подоплека этого состоит в том, что ему было просто некогда останавливаться на деталях математических доказательств — так он спешил перейти к приложениям. Лаплас внес фундаментальный вклад в развитие математики, но многие его достижения были не более чем «побочным продуктом» его титанической деятельности на поприще естествознания, и впоследствии их подхватили и развили другие, исследователи.

Одним из впечатляющих достижений Лапласа стало доказательство периодичности возмущений в эксцентриситетах эллиптических планетных орбит. Иначе говоря, Лаплас доказал, что величины этих возмущений колеблются в определенных пределах, а не возрастают неограниченно, нарушая регулярность небесных движений. Смысл результата, полученного Лапласом, приближенно можно истолковать как утверждение об устойчивости Вселенной. Лаплас доказал это в своем эпохальном пятитомном труде «Небесная механика», публикация которого продолжалась в течение двадцати шести лет (1799-1825). В этом сочинении, увенчавшем труд всей его жизни, Лаплас подвел итог исследованиям, проведенным им и Лагранжем:

В первой части нашего сочинения мы изложили общие принципы равновесия и движения тел. Применение этих принципов к движениям небесных тел привело нас с помощью одних лишь математических рассуждений и без какой бы то ни было гипотезы к закону всемирного тяготения — действие силы тяжести и движение брошенных тел являются частными случаями этого закона. Мы рассмотрели систему тел, подверженных действию этого великого закона природы, и с помощью несколько необычного анализа получили общие выражения для их движений, фигур и колебаний покрывающей их жидкости. Из этих выражений мы вывели все известные явления: такие, как прилив и отлив, вариации степени и интенсивности силы тяжести по поверхности Земли, предварение равноденствий, либрация Луны, фигура и вращение колец Сатурна. Мы также указали причину, по которой эти кольца постоянно остаются в плоскости экватора Сатурна. Кроме того, из той же теории гравитации мы вывели основные уравнения движений планет, в том числе Юпитера и Сатурна, у которых нерегулярности [движения] имеют период свыше 900 лет.

Лаплас пришел к выводу, что природа создала небесную машину, «дабы, та действовала вечно, на тех же принципах, которые столь великолепно проявляются на Земле во имя сохранения отдельных особей и непрекращающегося существования видов».

Но ньютоновскую теорию гравитации ожидали еще более впечатляющие результаты. Однако замечательное следствие из общей астрономической теории Лагранжа и Лапласа заслуживает того, чтобы упомянуть о нем особо. Мы имеем в виду чисто теоретическое предсказание существования и местоположения тогда еще неизвестной планеты Нептун. Галилей наблюдал ее в 1613 г., но думал, что видит звезду. Была выдвинута гипотеза, что необъяснимые возмущения в движении планеты Уран, замеченные примерно в 1820 г., обусловлены гравитационным притяжением со стороны какой-то неведомой планеты. Два астронома — двадцатишестилетний математик из Кембриджа Джон Кауч Адамс (1819-1892) и директор Парижской обсерватории Урбен Жан Жозеф Леверье (1811-1877) — независимо друг от друга вычислили орбиту гипотетической планеты, пользуясь данными наблюдений и основываясь на общей астрономической теории. В 1841 г. Адамс вычислил массу, орбиту и положение планеты, получившей впоследствии название Нептун. Он посетил директора Гринвичской королевской обсерватории Джорджа Эйри, чтобы сообщить о результатах своих вычислений. Застав Эйри за обедом, Адамс оставил ему рукопись, попросив ознакомиться с ней. После некоторых проволочек Эйри прочитал работу Адамса, но особого впечатления она на него не произвела. Между тем Леверье отправил свои результаты с указанием предполагаемого местоположения новой планеты немецкому астроному Иоганну Галле. Получив письмо от Леверье, Галле в тот же вечер (23 сентября 1846 г.) наблюдал Нептун. В телескопы того времени Нептун был едва различим, и вряд ли его удалось бы заметить, если бы астрономы не искали планету специально, руководствуясь теоретическим предсказанием.