Иэн Стюарт - Истина и красота. Всемирная история симметрии.

Одно остающееся уравнение описывало частицы очень простого вида, игравшие незначительную роль. Но никто, и менее всех Калуца, не ожидал, что и теория гравитации Эйнштейна, и теория электромагнетизма Максвелла сами собой возникнут из пятимерного аналога одной только гравитации. Вычисления Калуцы, казалось, говорили, что свет представляет собой колебания в дополнительном, скрытом измерении пространства. Гравитацию и электромагнетизм оказалось возможным соединить друг с другом таким образом, что не было заметно никаких швов, — но только ценой предположения, что пространство на самом деле четырехмерно, а пространство-время пятимерно.

Эйнштейн никак не мог принять решения по поводу статьи Калуцы, поскольку не было никаких причин считать, что пространство-время имеет дополнительное измерение. Но в конце концов он счел, что, сколь бы странной эта идея ни казалась, она была красива и потенциально обладала столь далеко идущими следствиями, что ее стоило опубликовать. После двух лет колебаний Эйнштейн рекомендовал статью Калуцы к публикации в ведущем физическом журнале. Статья называлась «О единстве физических проблем» [78].

Все эти разговоры про дополнительные размерности должны, наверное, звучать как нечто не вполне ясное и довольно мистическое. Это ли не концепция викторианских спиритуалистов, которые привлекали спасительное четвертое измерение всякий раз, как что-нибудь не складывалось в привычных трех? Где обитают духи? В четвертом измерении. Откуда берется эктоплазма? Из четвертого измерения. Теологи совсем уже было поместили там Бога и ангелов Его, когда осознали, что хотя пять — это хорошо, тем не менее шесть еще лучше и, в конце концов, бесконечная размерность подойдет для Всемогущего и Вездесущего.

Прекрасно, конечно, однако не слишком научно. Поэтому, быть может, стоит задержаться на некоторое время, чтобы прояснить относящуюся сюда математику. Основное положение состоит в том, что «размерность» чего-то в математике или физике — это число различных переменных, необходимых для его описания.

Ученые провели немало времени, размышляя о переменных — величинах, которые подвержены изменениям. Еще больше времени провели ученые-экспериментаторы за измерением значений этих величин. «Размерность» как геометрический способ указания на такие переменные оказалась настолько полезной, что прочно вошла в аппарат и язык естественных наук и математики, где считается чем-то весьма прозаичным и ничем не примечательным.

Время представляет собой непространственную переменную, так что оно дает нам возможную четвертую размерность, однако то же самое можно сказать про температуру, скорость ветра или продолжительность жизни термитов в Танзании. Координаты точки в трехмерном пространстве определяются тремя переменными — ее расстояниями к востоку, северу и вверх относительно некоей выбранной выделенной точки (отрицательные числа используются для противоположных направлений). Аналогично все, что зависит от четырех переменных, живет в четырехмерном «пространстве», а все зависящее от 101 переменной — в 101-мерном.

Любая сложная система по необходимости многомерна. Погодные условия у вас на заднем дворе зависят от температуры, влажности, трех компонент скорости ветра, барометрического давления, интенсивности осадков — что уже составляет семь размерностей, а можно было включить еще множество других. Могу поспорить, вы и не подозревали, что у вас семимерный задний двор. Состояние всех девяти (ладно, восьми; увы бедному Плутону!) планет в нашей солнечной системе определяется шестью переменными для каждой — тремя координатами и тремя компонентами скорости. Таким образом, наша Солнечная система является 54-(я хотел сказать, 48-) мерным математическим объектом; и гораздо более многомерным, если вы учтете спутники и астероиды. Экономика, в которой присутствуют миллионы различных объектов купли-продажи, каждый со своей собственной ценой, живет в миллиономерном пространстве. В сравнении с этим электромагнетизм, требующий всего шести дополнительных чисел, чтобы охарактеризовать локальные состояния электрического и магнитного полей, — сущее дитя [79]. Подобные примеры имеются в изобилии. По мере того как наука стала интересоваться системами с большим числом переменных, ей пришлось примириться с появлением экстравагантно многомерных пространств.

Формальная математика многомерных пространств носит чисто алгебраический характер и основана на «очевидных» обобщениях того, что имеет место в пространствах более низких размерностей. Например, каждую точку на плоскости (т.е. в двумерном пространстве) можно задать двумя координатами, а каждую точку в трехмерном пространстве — тремя. Сделаем небольшой шаг вперед и определим точку в четырехмерном пространстве как список из четырех координат; и, более общим образом, определим точку в n- мерном пространстве как список из n координат. Тогда само n- мерное пространство есть просто множество всех таких точек.

Подобные алгебраические манипуляции позволяют определить в n- мерном пространстве расстояние между любыми двумя точками, угол между любыми двумя линиями и так далее. Далее дело за воображением: большинство разумных геометрических форм, имеющихся в размерности два или три, допускают непосредственные аналоги в размерности n — чтобы определить их, надо описать привычные геометрические формы, используя координатную алгебру, а потом распространить это описание на n координат.

Чтобы получить представление об n- мерном пространстве, нам надо запастись n- мерными очками. Можно позаимствовать прием английского священника и школьного учителя Эдвина Эббота Эббота, написавшего в 1884 году небольшую книжку «Флатландия». Книга рассказывает о приключениях А. Квадрата, который живет в двумерном пространстве эвклидовой плоскости. Эббот не сообщает нам, что означает первое «А»; я же уверен, что это «Альберт», по причинам, объясненным в написанном мною продолжении «Флаттерландия», и именно из этого допущения я и буду далее исходить. Альберт Квадрат — рассудительный малый — не верил во всякую чушь о третьем измерении, до тех пор пока в один судьбоносный день через его плоскую вселенную не прошла сфера, с головой окунув его в реализм, в этой голове не умещавшийся.

«Флатландия» представляла сатирический взгляд на викторианское общество — вложенный в параболу четвертого измерения, основанную на трансразмерной аналогии. Нас здесь интересует как раз аналогия, а не сатира. Успешно представив себя живущим в плоскости двумерным существом, пребывающим в блаженном неведении относительно большего 3-мерного пространства, не так сложно уже представить себя трехмерным существом, живущим в 3-мерном пространстве, блаженно неосведомленным о реальности большего 4-мерного пространства. Представим себе, что Альберт Квадрат, счастливо пребывающий в своей Флатландии, желает «визуализировать» сферу (заполненную трехмерную сферу, так что скорее даже шар). Эббот достиг этого, заставив сферу проходить сквозь плоскость Флатландии, двигаясь при этом перпендикулярно ей таким образом, чтобы Альберт видел ее сечения этой плоскостью. Сначала он видит точку, которая разрастается в ограниченный окружностью диск. Диск расширяется до тех пор, пока глазам Альберта не предстанет экватор сферы, после чего диск уменьшается в размерах, в конце концов снова превращаясь в точку и исчезая.