Алексей Лосев - Хаос и структура

К сожалению, как ни ценна сама математика, ее материалы в логическом отношении являются совершенно неразработанными у самих математиков, страдающих почти всегда слишком большим формализмом, техницизмом и даже номинализмом. Им, напр., часто кажется, что они витают в каком–то неприступном идеальном царстве мысли и что их построения ровно ничему не соответствуют объективному. Даже и прямое значение математики в механике и технике очень часто понимается вполне махистски, т. е. так, что математика продолжает быть у них даже и здесь чисто априорной дисциплиной, как будто не существует никакой материи или она не нужна для этих математических построений. Покамест в математике не разрушен этот формализм, фикционизм и номинализм, нечего и думать принимать без критики то, что говорят сами математики. Приходится применять их методы на основе их конкретной разработки в самой математике, но никак не в силу формулировок и интерпретаций их у самих математиков. У математиков бывает часто даже прямое презрение к другим наукам, с их точки зрения недостаточно точным, и какое–то бахвальство своим особым, привилегированным положением среди прочих научных работников, наплевизм на огромные усилия человеческого ума понимать мир не только математически. В основе такого сепаратизма лежит наивное убеждение в том, будто бы математические истины никак не связаны с человеческим опытом и что они не уходят своими корнями в эмпирически наблюдаемую объективную реальность.

Предлагаемая работа имеет своею целью использовать метод бесконечно–малых для философии, но она имеет также своею целью опровержение очень частого у математиков сепаратизма, отрицающего связь математического анализа с конкретным человеческим опытом. Энгельс пишет: «Из всех теоретических успехов знания вряд ли какой оценивается так высоко, считаясь величайшим торжеством человеческого духа, как открытие исчисления бесконечно–малых во второй половине XVII в. Здесь, кажется, скорее чем где бы то ни было мы имеем перед собой чистое и исключительное деяние человеческого духа. Тайна, окружающая еще и в наше время применяемые в исчислении бесконечно–малых величин дифференциалы и бесконечные разного порядка, является лучшим доказательством того, что и поныне еще воображают, будто здесь имеют дело с чистыми, свободными творениями и плодами воображения человеческого ума, для которых нет ничего соответственного в объективном мире. Между тем справедливо как раз обратное. Мы встречаем для всех этих мнимых величин прообразы в природе» (Анти–Дюринг. 1938.275). Эти указываемые Энгельсом прообразы математического анализа в природе мы приводим в § 13, где мы обращаем внимание также и на то, что вся реальная и повседневная жизнь человека, все его поведение и вся его работа состоит из процессов постоянного дифференцирования и интегрирования.

Только очень низкой культурой логического мышления приходится объяснять то, что в традиционной логике до сих пор отсутствует метод бесконечно–малых и даже самое понятие бесконечности. Здесь все еще мерещится старая метафизика, и многие даже весьма искренне настроенные марксисты боятся употреблять этот термин в логике, несмотря на то что в соседней с логикой науке, в математике, этот метод и это понятие не только заняло твердую позицию несколько веков назад, но без этого немыслимо даже и современное развитие техники. Каждый средний студент математических, физических, разного рода технических факультетов оперирует бесконечностями не хуже того, как школьник оперирует таблицей умножения, и только одна логика, призванная к тому же отразить развитие науки, все еще боится даже заикнуться о понятии бесконечного и уж тем более страшится всяких методов, связанных с операциями над бесконечными величинами. Большой вред в этом отношении нанесли опять–таки сами же математики, и именно своим отгораживанием математического понятия бесконечности от всякого другого ее понятия и своим отгораживанием этого понятия от прообразов и аналогий с реальной действительностью.

В этом отношении мы позволим себе опять–таки процитировать Энгельса. Он пишет: «…лишь только математика укроется в свою неприступную твердыню абстракции, так называемую чистую математику, все эти аналогии забываются; бесконечность становится чем–то совершенно таинственным, и тот способ, каким ею пользуются в анализе, начинает казаться чем–то совершенно непонятным, противоречащим всякому опыту и рассудку. Глупости и нелепости, которыми математики не столько объясняли, сколько извиняли этот свой метод, приводящий странным образом всегда к правильным результатам, превосходит худшие, реальные и мнимые фантазии хотя бы гегелевской натурфилософии, о нелепостях которой математики не могут наговориться досыта. Они сами делают теперь— но в несравненно большем масштабе — то, в чем они упрекают Гегеля, именно доводят абстракции до крайности. Они забывают, что вся так называемая чистая математика занимается абстракциями, что все ее величины, строго говоря, мнимые величины и что все абстракции, доведенные до крайности, превращаются в бессмыслицу или в свою противоположность. Математическая бесконечность заимствована из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому она может быть объяснена только из действительности, а не из самой себя, не из математической абстракции. Но если мы станем исследовать действительность с этой стороны, то мы найдем, как мы видели, те реальные отношения, из которых заимствованы эти математические понятия о бесконечности, и даже естественные аналогии математической трактовки этих отношений. А этим и объясняется все дело» (Анти–Дюринг. 278 сл.).

Очистивши таким путем математику от чуждых ее природе формалистских и фикционистских интерпретаций и взявши математический анализ как вполне непредубежденное учение о становлении, мы получаем ряд больших достижений в логике, вырывая с корнем коснеющие в ней до настоящего времени метафизические предрассудки. Мы получаем возможность рассматривать мышление как функцию того независимого переменного, которое есть материя, и—тем самым стараемся внести в учение об отражении ясность и наглядность.

Мы приучаемся видеть конечное и бесконечное не в их метафизическом разрыве, но в их существенном совпадении и диалектическом единстве, с точки зрения которого каждое из них есть только бессильная абстракция. Какой бы малый отрезок прямой мы ни взяли и как бы мало ни было расстояние между двумя точками на прямой, между этими двумя точками всегда можно поместить не только одну или две новых точки, но целую бесконечность новых точек. Конечное, таким образом, только в своем абстрактном и рассудочном виде не есть в то же время и бесконечное. Подобным же образом наталкиваемся мы на полную невозможность представить себе и бесконечное вне всяких элементов конечности. Марксистско–ленинская теория, далее, помогает нам разобраться и в различных комбинациях этих абстрактно выделяемых элементов конечного и бесконечного и достигнуть подлинного базирования логического мышления на человеческой практике.